Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel ist es, die Histogramme zu den relativen Klassenhäufigkeiten zu verwenden, um Aussagen über Wahrscheinlichkeiten zu treffen.
Wahrscheinlichkeiten mit Histogrammen abschätzen
Im folgenden Applet werden die Histogramme zu den gemessenen Körpergrößen junger Frauen und junger Männer angezeigt. Die Histogramme sind mit einer festen Klassenbreite $5$ dargestellt. Die Höhe der Balken sind so gewählt, dass der Flächeninhalt eines Balkens der relativen Klassenhäufigkeit entspricht.
Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: HistogrammMJ1.ggb
Aufgabe 1
(a) Verwende die Angaben in den Histogrammen zu den relativen Klassenhäufigkeiten, um folgenden Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen:
- Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte junge 18-jährige Frau höchstens 1.70 m groß ist
- Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger 18-jähriger Mann höchstens 1.85 m groß ist
(b) Nutze die [Kontrolle] im Applet, um deine Ergebnisse zu überprüfen. Im Applet muss man hierzu den $x$-Wert passend einstellen. Erkläre auch, warum im Applet eine Fläche bestenhend aus mehreren Balken farblich hervorgehoben wird.
Aufgabe 2
(a) Jetzt sollen folgende Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt werden:
- Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte junge 18-jährige Frau höchstens 1.715 m groß ist
- Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger 18-jähriger Mann höchstens 1.873 m groß ist
Beschreibe die Schwierigkeit, die dabei auftritt.
(b) Skizzieren einen Lösungsansatz zum Umgang mit dieser Schwierigkeit.
Die Gauß-Funktion zur Beschreibung der Glockenform verwenden
Die Histogramme zu den Körpergrößen junger Frauen und junger Männer haben näherungsweise eine Glockenform. Wir nutzen jetzt die Gauß-Funktion, um die Glockenform der Histogramm näherungsweise zu erfassen. Im Applet sind die beiden auswählbaren Histogramme zu den Körpergrößen junger 18-jähriger Frauen und junger 18-jähriger Männer vorgegeben. Eingeblendet ist ebenfalls der Graph der Gauß-Funktion $\varphi$. Mit dem Schieberegler $\mu$ kann man den Graph der Gauß-Funktion nach rechts verschieben, mit dem Schieberegler $\sigma$ kann man den Graph anschließend in $x$-Richtung strecken und in $y$-Richtung stauchen. Mit dem grün eingefärbten Schieberegler kann man die Skalierung der $y$-Achse verändern. Beachte, dass dabei die Balkenhöhen in den Histogrammen (mit einer Flächenskalierung der Balkenhöhen) nicht verändert werden. Probiere das aus und bearbeite anschließend die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: HistogrammGauss.ggb
Aufgabe 3
(a)
Gehe für beide Histogramm so vor:
Nutze die beiden Schieberegler $\mu$ und $\sigma$, um das betrachtete Histogramm mit einer transformierten Gauß-Funktion anzunähern.
Vergleiche die Werte für $\mu$ und $\sigma$ mit den Kenngrößen Mittelwert
und Standardabweichung
des Histogramms.
Beschreibe, was dabei auffällt.
(b) Erkläre, wie man die Funktionsgleichung der transformierten Gauß-Funktion erhält.
$\varphi_{\mu;\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\cdot \varphi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$
Zur Vereinfachung der Sprechweise werden wir den Zusatz transformiert
künftig weglassen und solche Funktionen auch Gauß-Funktionen nennen.
(c) Ergänze den folgenden Satz zur Beschreibung der Ergebnisse aus (a) und (b).
Annäherung von Histogrammen mit Gauß-Funktionen
Wenn ein Histogramm zu relativen Klassenhäufigkeiten mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ näherungsweise eine Glockenform hat, dann ...
Wahrscheinlichkeiten mit Gauß-Funktionen abschätzen
Im nächsten Applet geht es noch einmal um die Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten. Aktiviere das betreffende Kontrollkästchen und bearbeite anschließend die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: WahrscheinlichkeitenGauss1.ggb
Aufgabe 4
(a) Hier geht es nochmal darum, die folgenden Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen:
- Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte junge 18-jährige Frau höchstens 1.70 m groß ist
- Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger 18-jähriger Mann höchstens 1.80 m groß ist
Nähere die Histogramme mit passenden Gauß-Funktionen an. Verdeutliche im Applet und begründe, dass man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Integralberechnungen abschätzen kann. Vergleiche die Ergebnisse mit den in Aufgabe 1 erzielten Werten.
(b) Verdeutliche mit Hilfe des erweiterten Applets (s.u.), dass man mit der Gauß-Funktion auch folgende Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen kann:
- Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte junge 18-jährige Frau höchstens 1.715 m groß ist
- Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger 18-jähriger Mann höchstens 1.873 m groß ist
Zum Herunterladen: WahrscheinlichkeitenGauss2.ggb
(c) Ergänze den folgenden Satz.
Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten mit Gauß-Funktionen
Betrachte die Situation, dass die Erhebung zu einer Zufallsgröße $X$ ein Histogramm zu relativen Klassenhäufigkeiten mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ liefert, das näherungsweise eine Glockenform hat. Dann kann man Wahrscheinlichkeiten so abschätzen:
$P(X \le x) \approx $
