Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir abstrahieren nun von den konkreten Kontexten und betrachten die Gauß-Funktion als Wahrscheinlichkeitsmodell.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Gauß-Funktionen festlegen
Wir gehen von einer Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ aus:
$\varphi_{\mu;\sigma} = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$
Mit Hilfe der Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsgröße $X$ festlegen: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a; b]$ (mit $a \lt b$) liegt, wird durch den Inhalt der Fläche unter dem Graph der betrachteten Gauß-Funktion in diesem Intervall bestimmt.
$P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} \varphi_{\mu;\sigma} (t) \; dt$
Das Applet verdeutlicht die Festlegung.
Zum Herunterladen: Normalverteilungen1.ggb
Aufgabe 1
Verdeutliche experimentell die folgenden Eigenschaften der oben festgeleten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Deute die Eigenschaften und begründe sie mit Eigenschaften der Gauß-Funktionen und Eigenschaften des Integrals.
| Eigenschaft | Deutung und Begründung |
|---|---|
| $0 \le P(a \le X \le b) \le 1$ |
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| $P(-\infty \lt X \lt \infty) = 1$ |
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| $0 \lt P(a \le X \le b) \lt 1$, falls $a \lt b$ |
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| $P(a \le X \le b) = 0$, falls $a = b$ |
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$P(a \le X \le b) = P(a \lt X \le b)$ $P(a \le X \le b) = P(a \le X \lt b)$ $P(a \le X \le b) = P(a \lt X \lt b)$ |
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Fachbegriffe einführen
Wir führen für die so festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Bezeichnung ein.
Betrachte eine beliebige Gauß-Funktion:
$\varphi_{\mu;\sigma} = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$; $\mu$ und $\sigma > 0$ sind zwei reelle Zahlen
Mit der Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festlegen. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man Normalverteilung. Für eine Zufallsgröße $X$ werden Intervallwahrscheinlichkeiten dabei so festgelegt:
$P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} \varphi_{\mu;\sigma} (t) \; dt$
Man sagt dann auch, dass die Zufallsgröße $X$ normalverteilt ist mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$.
Im Spezialfall $\mu = 0$ und $\sigma = 1$ wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung Standardnormalverteilung genannt.
Aufgabe 2
Benutze die Fachbegriffe, um die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Körpergrößen bei jungen 18-jährigen Frauen und Männern zu beschreiben.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu einer Gauß-Funktion mit einer Verteilungsfunktion beschreiben
Wir gehen nochmal von einer Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ aus:
$\varphi_{\mu;\sigma} = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$
Die Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ legt Wahrscheinlichkeiten indirekt mit Flächenberechnungen fest: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a; b]$ liegt, wird durch den Inhalt der Fläche unter dem Graph der betrachteten Gauß-Funktion in diesem Intervall bestimmt.
Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu einer Gauß-Funktion direkt zu beschreiben, verwendet man die Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$:
$\phi_{\mu;\sigma}(x) = P(X \le x) = \int\limits_{-\infty}^{x} \varphi_{\mu;\sigma}(x) \; dx$
Das folgende Applet verdeulticht diesen Ansatz zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsfunktion zu einer Gauß-Funktion. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: Normalverteilungen3.ggb
Aufgabe 3
Betrachte die Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$ zu einer Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$. Begründe: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a; b]$ liegt, kann man mit der Verteilungsfunktion $\phi$ so bestimmen:
$P(a \le X \le b) = \phi_{\mu;\sigma}(b) - \phi_{\mu;\sigma}(a)$
Aufgabe 4
Betrachte die Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$ zu einer Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$. Begründe: Die Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$ ist eine Stammfunktion zur Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$. Es gilt:
$\phi_{\mu;\sigma}'(x) = \varphi_{\mu;\sigma}(x)$
