Vertiefung
Zur Orientierung
Die Annäherung der standardisierten Histogramme mit der Gauß-Funktion eröffnet Möglichkeiten zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen. Diese Möglichkeiten kannst du hier erschließen.
Lokale Wahrscheinlichkeiten abschätzen
Wir gehen hier von einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ aus. Im folgenden Applet ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer solchen Zufallsgröße $X$ für die Parameter $n = 60$ und $p = 0.25$ dargestellt. Wir betrachten die (lokale) Wahrscheinlichkeit P(X = x) für einen Wert $x$ (wie z.B. $x = 17$). Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: binomialstandardisierung3.ggb
Aufgabe 1
(a) Begründe: Der Balken im standardisierten Histogramm an der verschobenen Stelle $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ hat die Breite $\frac{1}{\sigma}$ und die Höhe $\sigma \cdot P(X = x)$.
(b) Begründe mit der Aussagen aus (a) den folgenden Satz zur Abschätzung lokaler Wahrscheinlichkeiten.
Abschätzung von lokalen Wahrscheinlichkeiten
Betrachte eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$, für die die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist. Dann gilt:
$P(X = x) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi(z)$ mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Aufgabe 2
Betrachte die im Applet dargestellte binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 60$ und $p = 0.25$. Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit $P(X = 17)$ mit der Gauß-Funktion näherungsweise zu bestimmen.
(a) Überprüfe, ob die Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist.
(b) Bestimme die zur Stelle $x = 17$ gehörende Stelle $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ im standardisierten Histogramm.
(c) Berechne $P(x = 17)$ mit Hilfe von $\varphi(z)$ und vergleiche den Wert mit dem Binomialverteilungswert $P(X = 17) = B_{60; 0.05}(17) \approx 0.0956$.
Globale Wahrscheinlichkeiten abschätzen
Wir gehen hier weiterhin von einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ aus. Im folgenden Applet ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer solchen Zufallsgröße $X$ für die Parameter $n = 60$ und $p = 0.25$ dargestellt (blau eingefärbtes Histogramm). Wir betrachten jetzt die (globale) Wahrscheinlichkeit von $X$-Werte-Intervallen $P(x_1 \le X \le x_2)$. Bearbeite die Aufgaben unterhalb des Applets.
Zum Herunterladen: binomialstandardisierung4a.ggb
Aufgabe 3
(a) Begründe: Die Wahrscheinlichkeit $P(x_1 \le X \le x_2)$ für ein Werte-Intervall entspricht im Histogramm der Gesamtfläche der Balken von $x_1$ bis $x_2$.
(b) Begründe: Wenn man eine Standardisierung des Histogramms vornimmt, dann wandern die Balken zur Wahrscheinlichkeit $P(x_1 \le X \le x_2)$ an Stellen von $z_1 = \frac{x_1 - \mu}{\sigma}$ bis $z_2 = \frac{x_2 - \mu}{\sigma}$. Diese transformierten Balken haben denselben Flächeninhalt wie die Ausgangsbalken. Der Flächeninhalt der transformierten Balken entspricht somit ebenfalls der Wahrscheinlichkeit $P(x_1 \le X \le x_2)$.
(c) Begründe: Den Flächenihalt der transformierten Balken kann man mit Hilfe der Gaußfunktion $\varphi$ annähern. Die zu $x_1$ und $x_2$ gehörenden transformierten Stellen liefern die Mitten der äußeren Balken im standardisierten Histogramm. Um die halben Balkenbreiten links von $z_1$ und rechts von $z_2$ zu berücksichtigten, ermittelt man die Intervallgrenzen $z_1' = \frac{x_1 - \mu - 0.5}{\sigma}$ und $z_2' = \frac{x_2 - \mu + 0.5}{\sigma}$. Man diesen Intervallgrenzen erhält man den folgenden Satz zur Abschätzung globaler Wahrscheinlichkeiten.
Abschätzung von globalen Wahrscheinlichkeiten
Betrachte eine binmialverteilte Zufallsgröße $X$, die die Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt. Dann gilt:
$P(x_1 \le X \le x_2) \approx \int\limits_{z_1'}^{z_2'} \varphi(x) \; dx$ mit $z_1' = \frac{x_1 - \mu - 0.5}{\sigma}$ und $z_2' = \frac{x_2 - \mu + 0.5}{\sigma}$
Aufgabe 4
Betrachte die im Applet dargestellte binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 60$ und $p = 0.25$. Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit $P(14 \le X \le 20)$ mit der Gauß-Funktion näherungsweise zu bestimmen.
(a) Überprüfe, ob die Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist.
(b) Bestimme die Intervallgrenzen $z_1'$ und $z_2'$ zum Intervall betrachteten Intervall von $x_1 = 14$ bis $x_2 = 20$.
(c) Benutze den numerischen Integralrechner zur Abschätzung von $P(14 \le X \le 20)$ mit einem geeigneten Integral. Setze für $a$ und $b$ die passenden Werte ein.
Zum Herunterladen: numerische-integration.ggb
Standardisierung von Binomialverteilungen – die praktische Bedeutung früher
Die Erkenntnis, dass man das standardisierte Histogramm zu einer Binomialverteilung mit der Gauß-Funktion annähern kann, wurde früher benutzt, um Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen. Zur Verdeutlichung der Problematik betrachte noch einmal die im Applet dargestellte Situation. Hier geht es um die Bestimmung von $P(14 \le X \le 20)$ bei einer binomialverteilten Zufallsgröße mit den Parametern $n = 60$ und $p = 0.25$.
Zum Herunterladen: binomialstandardisierung4a.ggb
Aufgabe 5
Mache dir klar, wie man früher (ohne Taschenrechner oder Computer) solche Wahrscheinlichkeiten bestimmt hat. Vergleiche dabei den Aufwand, den man zur Bestimmung von $P(14 \le X \le 20)$ leisten musste.
- Man muss viele Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen: $P(X = 14)$, ..., $P(X = 20)$.
- Jede Einzelwahrscheinlichkeit muss man mit der Formel von Bernoulli berechnen, z.B.: $P(X = 15) = B_{60; 0.25}(15) = \binom{60}{15} \cdot 0.25^{15} \cdot 0.75^{45}$.
- Die Berechnungen mit der Formel von Bernoulli sind aufwendig. Im Fall $P(X = 15)$ muss man einen sehr großen und zwei sehr kleine Werte miteinander multiplizieren: $P(X = 15) = B_{60; 0.25}(15) = \underbrace{\binom{60}{15}}_{53194089192720} \cdot \underbrace{0.25^{15}}_{9.313 \cdot 10^{-10}} \cdot \underbrace{0.75^{45}}_{2.386 \cdot 10^{-6}}$.
- Zur Vermeidung solch komplexer Berechnungen hat man mit viel Rechenaufwand einmalig Tabellen für die Binomialverteilungen $B_{n; p}(k)$ angelegt.
- Zur Berechnung von $P(14 \le X \le 20)$ musste man die Einzelwahrscheinlichkeiten in den Tabellen nachschlagen und dann aufsummieren.
- Zur Abschätzung von $P(14 \le X \le 20)$ mit der Gauß-Funktion musste man nur einmalig ein Integral bestimmen. Die Integralwerte zur Gauß-Funktion wurden dabei ebenfalls in einer Tabelle nachgeschlagen.
Standardisierung von Binomialverteilungen – die fachliche Bedeutung heute
Heute werden die Wahrscheinlichkeiten binominalverteilter Zufallsgrößen mit dem Taschenrechner oder Computer berechnet. Die Standardisierung von Binomialverteilungen und ihre Annäherung mit der Gauß-Funktion benötigt man daher nicht mehr zur Abschätzung solcher Wahrscheinlichkeiten. Die Standardisierung wird heute dazu eingesetzt, um die gemeinsame Struktur unterschiedliche Binomialverteilungen sichtbar zu machen.
