Zusammenfassung – Modellierung empirischer Häufigkeitsverteilungen
Empirische Daten zur Körpergröße junger Erwachsener
Wie groß sind junge Erwachsene im Alter von 18 Jahren? Das interessiert z.B. die Hersteller von Abi-Ballkleidern und Anzügen für den Abi-Ball.
Anmerkungen: Die Abbildung wurden mit dem Tool HowHeight erzeugt. Dieses Tool verwendet steoreotype Darstellungen von Silhouetten von Männern und Frauen.
In der Abbildung werden nur die Durchschnittsgrößen junger 18-jähriger Frauen und Männer angegeben. Für detailliertere Aussagen benötigt man genauere Angaben über die Körpergröße junger Frauen und Männer. Zu diesen Zweck wurde eine Datenerhebung durchgeführt.
Körpergrößen von 18-Jährigen
| junge Frauen | junge Männer |
|---|---|
|
Messwerte [cm]: 166.5, 168.7, 170.3, ... Download: Messwerte – junge Frauen |
Messwerte [cm]: 184.6, 181.1, 181.6, ... Download: Messwerte – junge Männer |
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Kenngrößen: Mittelwert: $167.06$ Standardabweichung: $6.66$ |
Kenngrößen: Mittelwert: $181.39$ Standardabweichung: $7.42$ |
Bei der Datenerhebung wurde die Körpergröße von $250$ weiblichen und $250$ männlichen 18-Jährigen gemessen. Die Messung erfolgte in mm. Die Messergebnisse liegen als Listen von jeweils 250 Daten vor. Die Daten sind dabei in cm mit einer Nachkommastelle dargestellt. Berechnet wurden bereits die Mittelwerte und Standardabweichungen zu den vorliegenden Datenreihen.
Darstellung von Daten mit Histogrammen
In der vorliegenden Listenform kann man die Daten noch nicht gut deuten. Besser gelingt das, wenn man die Daten grafisch darstellt. Im folgenden Applet werden hierzu Histogramme verwendet.
Zum Herunterladen: HistogrammMJ0.ggb
- Die Daten zu den Körpergrößen junger Frauen und junger Männer werden separat mit Histogrammen verdeutlicht.
- Für eine grafische Darstellung werden Größenklassen gebildet (wie z.B. $160 \lt x \le 170$). Die Klassen sind werden dabei so gebildet, dass die obere Grenze zur Klasse gehört, die untere Grenze dagegen nicht. Im Applet kann man die Klassenbreite mit dem entsprechenden Schieberegler selbst einstellen. Die Histogrammbalken haben dann genau diese Breite.
- Die Histogrammbalken sind – ab einer Breite $5$ – mit Zahlenangaben versehen. In den Klammern wird die jeweilige absolute Klassenhäufigkeit für die betreffende Größenklasse angezeigt, darunter die zugehörige relative Klassenhäufigkeit. Im folgenden spielen die relativen Klassenhäufigkeiten die wichtigere Rolle.
- Beachte, dass man zwischen zwei verschiedene Skalierungen der Balkenhöhen wählen kann – der Längenskalierung und der Flächenskalierung.
- Bei der [Längenskalierung] der Balkenhöhen entsprechen die Längen der Balken den relativen Klassenhäufigkeiten. Wenn die relative Klassenhäufigkeit z.B. $0.16$ beträgt, dann hat der Balken die Höhe $0.16$.
- Bei der [Flächenskalierung] der Balkenhöhen entspechen die Flächeninhalte der Balken den relativen Klassenhäufigkeiten. Wenn die relative Klassenhäufigkeit z.B. $0.16$ beträgt und eine Balkenbreite $10$ eingestellt ist, dann wird die Balkenhöhe so gewählt, dass der Flächeninhalt des Balkens $0.16$ beträgt. Der Balken hat dann die Höhe $0.016$.
Das Applet verdeutlicht, dass es viele Möglichkeiten gibt, um die Daten grafisch mit Histogrammen darzustellen.
Wenn man eine Lägenskalierung der Balkenhöhen verwendet, dann schrumpft
das Histogramm zu den Daten, wenn man die Klassenbreite immer geringer wählt.
Wenn man die Balken alle aufeinander türmen würde, dann würde man einen Turm mit der Höhe $1$ erhalten, der aus ganz vielen kleinen Einzelbalken besteht.
Wenn man dagegen eine Flächenskalierung der Balkenhöhen wählt, dann behält das Histogramm in etwa seine Form
, wenn man die Klassenbreite variiert.
Das liegt daran, weil die Gesamtfläche aller Balken immer den Flächeninhalt $1$ hat.
Die Darstellung mit einer Flächenskalierung ist für die visuelle Wahrnehmung der Daten meist geeigneter und wird daher bei der Histogrammdarstellung verwendet.
Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten mit Histogrammen
Im folgenden Applet werden die Histogramme zu den gemessenen Körpergrößen junger Frauen und junger Männer angezeigt. Die Histogramme sind mit einer festen Klassenbreite $5$ dargestellt. Die Höhe der Balken sind so gewählt, dass der Flächeninhalt eines Balkens der relativen Klassenhäufigkeit entspricht.
Zum Herunterladen: HistogrammMJ1.ggb
Mit Hilfe des Histogramms kann man Wahrscheinlichkeiten abschätzen.
Beispiel
Folgende Wahrscheinlichkeiten sind gesucht:
- Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte junge 18-jährige Frau höchstens 1.70 m groß ist
- Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger 18-jähriger Mann höchstens 1.85 m groß ist
Wir gehen davon aus, dass mit jeweils $250$ Messungen genügend Daten vorliegen, so dass relative Häufigkeiten gute Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten liefern.
Wenn man im Applet den $x$-Wert passend einstellt, erhält man folgende Ergebnisse:
-
Die relative Häufigkeit in den Daten zum Ereignis
junge 18-jährige Frau ist höchstens 1.70 m groß
entspricht der Fläche der Balken im Histogramm bis zur Stelle $x = 170$. Im Applet wird für diese Fläche der Wert $0.672$ angezeigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte junge 18-jährige Frau höchstens 1.70 m groß ist, kann man also mit $P(X \le 170) \approx 672$ abschätzen. -
Die relative Häufigkeit in den Daten zum Ereignis
junger 18-jähriger Mann ist höchstens 1.85 m groß
entspricht der Fläche der Balken im Histogramm bis zur Stelle $x = 185$. Im Applet wird für diese Fläche der Wert $0.68$ angezeigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger 18-jähriger Mann höchstens 1.85 m groß ist, kann man also mit $P(X \le 185) \approx 0.68$ abschätzen.
Beachte, dass dieses Vorgehen nur dann gut funktioniert, wenn man man Wahrscheinlichkeiten für Wertebereiche abschätzen will, die an den Klassengrenzen enden. Schwierigkeiten ergeben sich, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, z.B., wenn folgende Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt werden sollen:
- Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte junge 18-jährige Frau höchstens 1.715 m groß ist
- Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger 18-jähriger Mann höchstens 1.873 m groß ist
Als Lösungsansatz bietet es sich an, die Histogramme zu verfeinern. Eine Möglichkeit besteht darin, mehr Daten zu erheben, um dann die Klasseneinteilung feiner anlegen zu können. Eine andere Möglichkeit basiert auf einer Modellierung der Histogramme mit Hilfe von Funktionen, so dass man dann Wahrscheinlichkeiten für beliebige Wertebereiche bestimmen kann. Im Folgenden wird dieser zweite Weg bestritten.
Annäherung der Histogramme mit Gauß-Funktionen
Es fällt auf, dass die Histogramme zu den Daten eine Glockenform haben. Wir nutzen jetzt die Gauß-Funktion, um die Glockenform eines Histogramms näherungsweise zu erfassen. Im Applet sind die beiden auswählbaren Histogramme zu den Körpergrößen junger 18-jähriger Frauen und junger 18-jähriger Männer vorgegeben. Eingeblendet ist ebenfalls der Graph der Gauß-Funktion $\varphi$. Mit dem Schieberegler $\mu$ kann man den Graph der Gauß-Funktion nach rechts verschieben, mit dem Schieberegler $\sigma$ kann man den Graph anschließend in $x$-Richtung strecken und in $y$-Richtung stauchen. Mit dem grün eingefärbten Schieberegler kann man die Skalierung der $y$-Achse verändern.
Zum Herunterladen: HistogrammGauss.ggb
Wenn man die Histogramme mit transformierten Gauß-Funktionen annähert, dann fällt Folgendes auf:
-
Histogramm zu den Körpergrößen junger Frauen:
Die Annäherung geling gut mit den Einstellungen $\mu = 167$ und $\sigma = 6.7$. Diese Einstellungen entsprechen genau dem Mittelwert und der Standardabweichung des Histogramms. -
Histogramm zu den Körpergrößen junger Männer:
Die Annäherung geling gut mit den Einstellungen $\mu = 181$ und $\sigma = 7.4$. Diese Einstellungen entsprechen genau dem Mittelwert und der Standardabweichung des Histogramms.
Die transformierten Gauß-Funktionen lassen sich allgemein mit folgenden Funktionsgleichungen beschreiben:
$\varphi_{\mu;\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\cdot \varphi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$
Zur Vereinfachung der Sprechweise werden wir den Zusatz transformiert
künftig weglassen und solche Funktionen auch Gauß-Funktionen nennen.
Insgesamt erhält man folgendes Ergebnis:
Annäherung von Histogrammen mit Gauß-Funktionen
Wenn ein Histogramm zu relativen Klassenhäufigkeiten mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ näherungsweise eine Glockenform hat, dann kann man das Histogramm mit einer Gauß-Funktion näherungsweise beschreiben:
$\varphi_{\mu;\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\cdot \varphi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$
Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten mit Gauß-Funktionen
Die Annäherung von Histogrammen zu relativen Klassenhäufigkeiten mit Gauß-Funktionen kann man verwenden, um sehr flexibel Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen. Im nächsten Applet wird das Vorgehen verdeutlicht.
Zum Herunterladen: WahrscheinlichkeitenGauss1.ggb
Wenn man das Histogramm mit einer Gauß-Funktion annähert, dann entspricht der Flächinhalt eines oder mehrerer zusammenhängender Balken näherungsweise dem Flächeninhalt unter dem Graph der Gauß-Funktion im Intervall zu den Balken.
Beispiel
Wir betrachten nochmal die bereits oben gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
-
Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte junge 18-jährige Frau höchstens 1.70 m groß ist
Wenn man das Histogramm mit der Gauß-Funktion $\varphi_{167;6.7}$ annähert, dann erhält man folgende Abschätzung:
$P(X \le 170) \approx \int\limits_{145}^{170} \varphi_{167;6.7}(t) \; dt \approx 0.673$ -
Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter junger 18-jähriger Mann höchstens 1.85 m groß ist
Wenn man das Histogramm mit der Gauß-Funktion $\varphi_{181;7.4}$ annähert, dann erhält man folgende Abschätzung:
$P(X \le 185) \approx \int\limits_{145}^{185} \varphi_{181;7.4}(t) \; dt \approx 0.706$
Die so abgeschätzen Wahrscheinlichkeiten entsprechen in etwa den Wahrscheinlichkeiten, die mit den relativen Häufigkeiten erzielt wurden.
Mit Hilfe der Gauß-Funktionen lassen sich jetzt Wahscheinlichkeiten für beliebige Körpergrößenintervalle bestimmen. Im folgenden Applet kann die betrachteten Intervalle selbst wählen. Sie sind nicht mehr an die Klassengrenzen gebunden.
Zum Herunterladen: WahrscheinlichkeitenGauss2.ggb
Beispiel
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Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte junge 18-jährige Frau mindestens 1.65m und höchstens 1.72 m groß ist
Wenn man das Histogramm mit der Gauß-Funktion $\varphi_{167;6.7}$ annähert, dann erhält man folgende Abschätzung:
$P(165 \le X \le 172) \approx \int\limits_{165}^{172} \varphi_{167;6.7}(t) \; dt \approx 0.39$ -
Gesucht: dass ein zufällig ausgewählter junger 18-jähriger Mann mindestens 1.80m höchstens 1.86 m groß ist
Wenn man das Histogramm mit der Gauß-Funktion $\varphi_{181;7.4}$ annähert, dann erhält man folgende Abschätzung:
$P(180 \le X \le 186) \approx \int\limits_{180}^{186} \varphi_{181;7.4}(t) \; dt \approx 0.304$
Die so abgeschätzen Wahrscheinlichkeiten entsprechen in etwa den Wahrscheinlichkeiten, die mit den relativen Häufigkeiten erzielt wurden.
Im folgenden Satz wird das Vorgehen verallgemeinernd beschrieben.
Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten mit Gauß-Funktionen
Betrachte die Situation, dass die Erhebung zu einer Zufallsgröße $X$ ein Histogramm zu relativen Klassenhäufigkeiten mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ liefert, das näherungsweise eine Glockenform hat. Dann kann man Wahrscheinlichkeiten so abschätzen:
$P(X \le x) \approx \int\limits_{-\infty}^{x} \varphi_{\mu;\sigma}(t) \; dt$
$P(a \le X \le b) \approx \int\limits_{a}^{b} \varphi_{\mu;\sigma}(t) \; dt$$
Modellierung empirischer Daten mit Gauß-Funktionen
Bei der Verwendung von Gauß-Funktion zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten bei empirisch ermittelten Daten handelt es sich um einen Modellierungsvorgang. Die folgende Übersicht verdeutlicht das Wechselspiel zwischen Realität und mathematischer Modellierung.
Beispiel: Körpergröße junger 18-jähriger Frauen
| Realität | Modell |
|---|---|
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Problem: Wie viele 18-jährige junge Frauen gibt es in etwa in Deutschland, die mindestens 1.65m und höchstens 1.72m groß sind? Erhebung von Daten: Mit einer Erhebung wird die Körpergröße bei $250$ jungen 18-jährigen Frauen bestimmt. Die Daten werden mit einem Histogramm (siehe Applet) grafisch dargestellt. |
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Datenmodellierung mit einer Gauß-Funktion: Das Histogramm zu den Daten der jungen Frauen hat eine Glockenform. Es lässt sich mit einer Gauß-Funktion mit den Parametern $\mu = 167$ und $\sigma = 6.7$ annähern. Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit: ZE: Eine junge 18-jähre Frau zufällig auswählen ZG $X$: Körpergröße der ausgewählten Frau Mit der Gauß-Funktion $\varphi_{167;6.7}$ erhält man: $P(160 \le X \le 172) \approx 0.39$. |
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Abschätzung einer absoluten Häufigkeit: In Deutschland gibt es zur Zeit ca. 410000 junge 18-jährige Frauen. Mit $P(160 \le X \le 172) \approx 0.39$ erhält man folgende Abschätzung der absoluten Häufigkeit $H$: $H \approx 0.39 \cdot 410000 = 159900$ |
Im Beispiel Körpergröße junger 18-jähriger Frauen
wird eine Gauß-Funktion als mathematisches Modell für die Verteilung der relativen Häufigkeiten verwendet.
In diesem Beispiel passt das Gauß-Funktionen-Modell gut zu den empirisch gewonnenen Daten.
Beachte, dass das Gauß-Funktionen-Modell kein universelles Modell für „Daten mit einem Berg“ ist.
Das zeigt das Beispiel Schulwegdauer
.
Bei einer Erhebung wurden $200$ Kinder befragt, wie lang ihr Schulweg dauert.
Im Applet verdeutlicht das Histogramm die relativen Häufigkeiten für diese Erhebung.
Zum Herunterladen: HistogrammSchulwegzeiten.ggb
Im vorliegenden Beispiel hat das Histogramm keine Glockenform. Es gelingt so auch nicht, das Histogramm adäquat mit einer Gauß-Funktion anzunähern.
