Erarbeitung

Die Standardisierung inhaltlich deuten

Wir gehen hierzu von einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ aus. Im folgenden Applet ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer solchen Zufallsgröße $X$ für die Parameter $n = 60$ und $p = 0.25$ mit einem (blau eingefärbten) Histogramm dargestellt. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.

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Aufgabe 1

Betrachte die Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ für einen Wert $x$ (wie z.B. $x = 17$).

(a) Erläutere: Die Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ für einen Wert $x$ (wie z.B. $x = 17$) wird im Histogramm durch einen Balken an der Stelle $x$ mit der Breite $1$ und der Höhe $P(X = x)$ dargestellt. Aufgrund der Breite $1$ entspricht die Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ auch dem Flächeninhalt des Balkens an der Stelle $x$.

(b) Begründe: Wenn man eine Standardisierung des Histogramms vornimmt, dann wandert der Balken zum Wert $x$ an die Stelle $z$ mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.

(c) Begründe: Wenn man eine Standardisierung des Histogramms vornimmt, dann erhält man aus einem Balken mit der Breite $1$ und der Höhe $P(X = x)$ einen Balken mit der Breite $\frac{1}{\sigma}$ und der Höhe $\sigma \cdot P(X = x)$. Der Flächeninhalt des Balkens ändert sich also bei einer Standardisierung nicht.

(d) Begründe mit dem Ergebnis aus (c) die folgenden Deutung von Wahrscheinlichkeiten im standardisierten Histogramm.

Vergleich von Binomialverteilungen

Mit der Standardisierung wird das Histogramm einer Binomialverteilung verschoben und neu skaliert. Mit diesem Transformationsverfahren werden Histogramme von unterschiedlichen Verteilungen an diesebe Stelle verschoben und auf dieselbe Skala gebracht. Das erlaubt es, Werte von unterschiedlichen Binomialverteilungen zu vergleichen. Betrachte zur Verdeutlichung die folgende Beispielsituation.

Aufgabe 2

(a) Bestimme die Erwartungswerte $\mu(X)$ und $\mu(Y)$ sowie die Standardabweichunen $\sigma(X)$ und $\sigma(Y)$ für die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$.

(b) Ermittle für beide Zufallsgrößen die Entfernungen der beobachteten Trefferanzahlen von den Erwartungswerten. Begründe, warum ein Vergleich dieser absoluten Entfernungen vom Erwartungswert wenig aussagekräftig ist. Berücksichtige die Breite der Verteilungen.

(c) Begründe: Die beobachteten Trefferanzahlen sind bei beiden Zufallsgrößen genau $2$ Standardabweichungen von den Erwartungswerten entfernt. D.h., beide beobachteten Werte liegen relativ zur Streuung gleich weit vom Erwartungswert entfernt – jeweils genau $2$ Standardabweichungen. Erläutere, warum ein solcher Vergleich relativer Entfernungen vom Erwartungswert in Bezug auf die Standardabweichungen meist sinnvoller ist.

(d) Verdeutliche, dass das Ergebnis gleiche relative Entfernung vom Erwartungswert sich direkt bei der Standardisierung der Binomialverteilungen zeigt. Betrachte hierzu die Standardisierungen der beiden Binomialverteilungen. Zeige, dass die beobachteten Werte $x = 40$ bzw. $x = 60$ bei der Standardisierung beide auf denselben standardisierten $z$-Wert (nämlich $z = 2$) verschoben werden.

Aufgabe 3

(a) Begründe rechnerisch, dass Werte bei der Standardisierung einer Binomialverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ so verschoben werden:

• Der Wert $x = \mu$ wandert an die Stelle $z = 0$.
• Der Wert $x = \mu + \sigma$ wandert an die Stelle $z = 1$.
• Der Wert $x = \mu - \sigma$ wandert an die Stelle $z = -1$.
• Der Wert $x = \mu + 2\sigma$ wandert an die Stelle $z = 2$.
• Der Wert $x = \mu - 2\sigma$ wandert an die Stelle $z = -2$.
• ...

(b) Die Abweichung eines Wertes vom Erwartungswert $\mu$ beschreibt man üblicherweise in Einheiten der Standardabweichung $\sigma$, z.B.: Der Wert liegt $2\sigma$ vom Erwartungswert $\mu$ entfernt. verdeutliche im folgenden Applet, dass die Standardisierung von Binomialverteilungen eine Neuskalieren der Werte liefert, so dass Entfernungen vom Erwartungswert in Vielfachen der Standardabweichung dargestellt werden.

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