Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du die Gauß-Funktion benutzt, um die Verteilung von Körpergrößen junger Frauen und Männer bei einer Erhebung zu beschreiben. Hier geht es um die Frage, wann man die Gauß-Funktion zur Modellierung empirisch gewonnener Daten verwenden kann.
Empirische Daten mit der Gauß-Funktion modellieren
Betrachte noch einmal die folgende Problemsituation: Wie viele 18-jährige junge Frauen gibt es zur Zeit in Deutschland, die mindestens 1.65m und höchstens 1.72m groß sind? Das interessiert z.B. die Hersteller von Abi-Ballkleidern mit der Kleidergröße M für junge Frauen.
Aufgabe 1
Verdeutliche anhand der Beispielsituation die folgenden verallgemeinernden Aussagen:
- Die Gauß-Funktion wird benutzt, um die empirische Häufigkeitsverteilung näherungsweise zu modellieren. Die Gauß-Funktion dient hier als mathematisches Modell für die empirische Häufigkeitsverteilung. Man kann sie verwenden, um Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen.
- Im vorliegenden Kontext funktioniert das, weil das Histogramm zu den relativen Klassenhäufigkeiten eine Glockenform hat.
Beispiel: Körpergröße junger 18-jähriger Frauen
| Realität | Modell |
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Problem: Wie viele 18-jährige junge Frauen gibt es in etwa in Deutschland, die mindestens 1.65m und höchstens 1.72m groß sind? Erhebung von Daten: Mit einer Erhebung wird die Körpergröße bei $250$ jungen 18-jährigen Frauen bestimmt. Die Daten werden mit einem Histogramm (siehe Applet) grafisch dargestellt. |
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Datenmodellierung mit einer Gauß-Funktion: Das Histogramm zu den Daten der jungen Frauen hat eine Glockenform. Es lässt sich mit einer Gauß-Funktion mit den Parametern $\mu = 167$ und $\sigma = 6.7$ annähern. Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit: ZE: Eine junge 18-jähre Frau zufällig auswählen ZG $X$: Körpergröße der ausgewählten Frau Mit der Gauß-Funktion $\varphi_{167;6.7}$ erhält man: $P(160 \le X \le 172) \approx 0.39$. |
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Abschätzung einer absoluten Häufigkeit: In Deutschland gibt es zur Zeit ca. 410000 junge 18-jährige Frauen. Mit $P(160 \le X \le 172) \approx 0.39$ erhält man folgende Abschätzung der absoluten Häufigkeit $H$: $H \approx 0.39 \cdot 410000 = 159900$ |
Zum Herunterladen: WahrscheinlichkeitenGauss2.ggb
Grenzen zur Modellierung mit Gauß-Funktionen aufzeigen
Bei einer Erhebung wurden 200 Kinder befragt, wie lang ihr Schulweg dauert. Im folgende Applet verdeutlicht das Histogramm die relativen Häufigkeiten bei einer Erhebung dieser Schulwegzeiten. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: HistogrammSchulwegzeiten.ggb
Aufgabe 2
(a) Probiere, das Histogramm mit einer Gauß-Funktion anzunähern. Begründe, warum das im vorliegenden Fall nicht gut klappt.
(b) Mache dir anhand der betrachteten Erhebung klar, dass die Gauß-Funktion ist kein universelles Modell für „Daten mit einem Berg“ ist.
