Übungen – Normalverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung

Aufgabe 1

Im Applet wird das Histogramm zu den relativen Klassenhäufigkeiten bei einer Datenerhebung angezeigt. Das bei der Datenerhebung beobachtete Merkmal wird mit der Zufallsgröße $X$ erfasst.

Zum Herunterladen: HistogrammDaten1.ggb

(a) Erläutere, warum man die Häufigkeitsverteilung mit einer Normalverteilung modellieren kann.

(b) F. behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ genau den Mittelwert der Daten annimmt, $34 \%$ beträgt. Beurteile diese Aussage. Gib ggf. einen besseren Wahrscheinlichkeitswert an.

(c) Wie kann man die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass $X$ einen Wert zwischen $25.5$ und $42.5$ annimmt? Erläutere das Vorgehen und bestimme die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Aufgabe 2

In einem Test kann man maximal $100$ Punkte (und minimal $0$ Punkte) erzielen. Der Test wurde von $150$ Personen durchgeführt. Die Auswerter des Tests geben bekannt:

Die Testergebnisse können wir mit einer Normalverteilung mit den Parametern $\mu = 72$ und $\sigma = 10$ mathematisch modellieren.

Zum Herunterladen: HistogrammModell1.ggb

(a) Der Test gilt als bestanden, wenn man mindestens $60$ Punkte erzielt. Schätze mit der Normalverteilung ab, wie viele Personen in etwa den Test bestanden haben.

(b) Die Gauß-Funktion zur betrachteten Normalverteilung verläuft auch jenseits der Maximalpunktzahl $100$ oberhalb der $x$-Achse. Erläutere, warum das problematisch ist. Nimm Stellung zu folgenden Aussagen:

• A: Das gewählte Modell ist falsch.
• B: Das gewählte Modell ist ungeeignet.

(c) Entwickle ein Histogramm mit der Klassenbreite $10$ zu einem möglichen Testergebnis, das sich mit der vorgegebenen Normalverteilung approximieren lässt.

Aufgabe 3

Im folgenden Applet kannst du Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche normalverteilte Zufallsgrößen experimentell bestimmen.

Zum Herunterladen: HistogrammModell2.ggb

(a) Untersuche experimentell für unterschiedliche Einstellungen der Parameter $\mu$ und $\sigma$, wie groß die Wahrscheilichkeit $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma)$ ist. Beschreibe, was du feststellst.

(b) Bestimme experimentell $k$ so, dass $P(\mu-k\cdot\sigma \le X \le \mu+ k\cdot\sigma) \approx 0.9 = 90\%$ gilt (für beliebige Parameter $\mu$ und $\sigma$).

(c) Bestimme experimentell $k$ so, dass $P(\mu-k\cdot\sigma \le X \le \mu+ k\cdot\sigma) \approx 0.95 = 95\%$ gilt (für beliebige Parameter $\mu$ und $\sigma$).

(d) Warum ist das so, dass man für beliebige Parameter $\mu$ und $\sigma$ immer dieselbe Wahrscheinlichkeit $P(\mu-k\cdot\sigma \le X \le \mu+ k\cdot\sigma) \approx 0.95 = 95\%$ erhält? Begründe mit der Transformation der Gauß-Funktion.