Übungen – Standardisierung von Binomialverteilungen

Aufgabe 1

Eine Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $\mu = 50$ und die Standardabweichung $\sigma = 5$

(a) Bestimme den standardisierten Wert zum Ausgangswert $x = 55$.

(b) Welcher Ausgangswert $x$ wird zu $z = -2$ standardisiert?

(c) Beschreibe inhaltlich: Der standardisierte Wert $z = 2.5$ bedeutet, dass der Ausgangswert ...

Aufgabe 2

(a) Betrachte eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 64$ und $p = 0.2$. Wie weit ist der Wert $x = 15$ vom Erwartungswert $\mu$ der Zufallsgröße $X$ entfernt? Beschreibe die Entfernung in absoluten Einheiten und relativ in Vielfachen der Standardabweichung $\sigma$.

(b) Betrachte eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$. Welche der beiden folgenden Aussagen beschreibt eine stärkere Abweichung? Begründe.

• A: Ein Ergebnis $x$ liegt $12$ Einheiten über seinem Erwartungswert $\mu$, die Standardabweichung beträgt $\sigma = 4$.
• B: Ein Ergebnis $x$ liegt $15$ Einheiten über seinem Erwartungswert $\mu$, die Standardabweichung beträgt $\sigma = 10$.

(c) Erkläre, warum die Aussage „Das Ergebnis 60 einer binomialverteilten Zufallsgröße liegt 10 Einheiten über dem Erwartungswert“ weniger aussagekräftig ist als die Aussage „Das Ergebnis 60 einer binomialverteilten Zufallsgröße liegt zwei Standardabweichungen über dem Erwartungswert“.

Aufgabe 3

Betrachte die beiden Zufallsexperimente:

• Zufallsexperiment A: Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie oft dabei die 6 fällt.
• Zufallsexperiment B: Eine Münze wird 500-mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie oft dabei eine Zahl oben liegt.

Bei der Durchführung von A erzielt man 20-mal die 6, bei der Durchführung von B liegt 262-mal die Zahl oben. Bei welcher der beiden Durchführungen liegt das Ergebnis weiter vom Erwartungswert entfernt? Begründe dein Ergebnis.

Aufgabe 4

Betrachte die beiden Probleme:

• Zufallsexperiment A: Ein Tetraederwürfel (mit 4 gleichwahrscheinlichen Dreiecksflächen, die mit den Augenzahlen 1..4 versehen sind) wird 20-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 1 dabei 6-mal fällt?
• Zufallsexperiment B: Ein Tetraederwürfel (mit 4 gleichwahrscheinlichen Dreiecksflächen, die mit den Augenzahlen 1..4 versehen sind) wird 200-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 1 dabei 51-mal fällt?

(a) Ermittle zunächst die gesuchten Wahrscheinlichkeiten im Applet.

Zum Herunterladen: binomialstandardisierung3a.ggb

(b) Mache dir anhand des Applets nochmal klar, wie man Wahrscheinlichkeiten binomialverteilter Zufallsgrößen mit Hilfe der Gauß-Funktion $\varphi$ abschätzt.

(c) Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten näherungsweise mit Hilfe der Gauß-Funktion $\varphi$. Begründe, warum die Abschätzung im Fall A recht schlecht, im Fall B dagegen sehr gut ist.

Aufgabe 5

Im Kapitel Erwartungswert und Standardabweichung wurde die folgende Sigma-Regel für binomialverteilte Zufallsgrößen experimentell bestimmt:

Wenn die Laplace-Bedingung $\sigma(X) > 3$ erfüllt ist, dann erhalten wir folgenden Näherungswert: $P(\mu-1\cdot\sigma\leq X \leq\mu+1\cdot\sigma) \approx 68\%$

Mit der Gauß-Funktion kann man diese Abschätzung jetzt begründen.

(a) Begründe zunächst.

• Das Werte-Intervall $\mu-1\cdot\sigma\leq x \leq\mu+1\cdot\sigma$ wird bei der Standardisierung auf das Intervall $-1 \le z \le 1$ verschoben.
• Die Wahrscheinlichkeit $P(\mu-1\cdot\sigma\leq X \leq\mu+1\cdot\sigma)$ lässt sich grob mit dem Integral $\int\limits_{-1}^{1} \varphi(t) \; dt$ abschätzen.

(b) Bestimme das Integral mit dem folgenden Integralrechner.

Zum Herunterladen: numerische-integration.ggb

Aufgabe 6

Im Applet ist das Histogramm zu einer Binomialverteilung dargestellt.

Zum Herunterladen: binomialstandardisierung-aufgabe6.ggb

Kannst du die Parameter $n$ und $p$ der Binomialverteilung bestimmen?