Zusammenfassung – Standardisierung von Binomialverteilungen

Histogramme von Binomialverteilungen

Die Form des Histogramms zu einer Binomialverteilung hängt von den Parametern $n$ und $p$ ab. Mit dem Applet kann man das genauer untersuchen.

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Beobachtungen

• Mit wachsendem $\mu$ wandert der Bereich mit den höchsten Balken nach rechts.
• Mit wachsendem $\sigma$ wird die Veteilung breiter.
• Mit wachsendem $\sigma$ wird die Veteilung symmetrischer.
• Mit wachsendem $\sigma$ nimmt die Veteilung immer mehr die Form einer Glockenkurve an.

Standardisierung von Binomialverteilungen

Wenn die Standardabweichung $\sigma$ einer Binomialverteilung groß genug ist (man geht üblicherweise von $\sigma > 3$ aus), dann kann man die Form der Verteilung gut mit einer Glockenkurve beschreiben. Um diese gemeinsame Struktur erfassen zu können, führen wir eine Standardisierung der Verteilungen durch. Die Standardisierung bringt unterschiedlich gelagerte und unterschiedlich breite Verteilungen auf eine gemeinsame Vergleichsform.

Im folgenden Applet kann man die beiden Schritte bei der Standardisierung einer Binomialverteilung selbst durchführen.

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Mit dem Applet kann man experimentell den folgenden interessanten Zusammenhang herausfinden.

Wir betrachten jetzt die inhaltliche Deutung der Histogramme bei der Standardisierung von Binomialverteilungen genauer. Wir gehen hierzu von einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ aus. Im folgenden Applet ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer solchen Zufallsgröße $X$ für die Parameter $n = 60$ und $p = 0.25$ mit einem (blau eingefärbten) Histogramm dargestellt.

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Wir betrachten die (lokale) Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ für einen Wert $x$ (wie z.B. $x = 17$). Anhand des Applets kann man sich folgende Zusammenhänge klarmachen:

• Die Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ für einen Wert $x$ (wie z.B. $x = 17$) wird im Histogramm durch einen Balken an der Stelle $x$ mit der Breite $1$ und der Höhe $P(X = x)$ dargestellt. Aufgrund der Breite $1$ entspricht die Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ auch dem Flächeninhalt des Balkens an der Stelle $x$.
• Wenn man eine Standardisierung des Histogramms vornimmt, dann wandert der Balken zum Wert $x$ an die Stelle $z$ mit $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.
• Wenn man eine Standardisierung des Histogramms vornimmt, dann erhält man aus einem Balken mit der Breite $1$ und der Höhe $P(X = x)$ einen Balken mit der Breite $\frac{1}{\sigma}$ und der Höhe $\sigma \cdot P(X = x)$. Der Flächeninhalt des Balkens ändert sich also bei einer Standardisierung nicht.
• Die Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ entspricht somit im standardisierten Histogramm dem Flächeninhalt des Balkens an der verschobenen Stelle $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.

Wir halten die zentralen Ergebnisse im folgenden Satz fest.

Vergleich von Binomialverteilungen

Mit der Standardisierung wird das Histogramm einer Binomialverteilung verschoben und neu skaliert. Mit diesem Transformationsverfahren werden Histogramme von unterschiedlichen Verteilungen an diesebe Stelle verschoben und auf dieselbe Skala gebracht. Das erlaubt es, Werte von unterschiedlichen Binomialverteilungen zu vergleichen. Betrachte zur Verdeutlichung die folgende Beispielsituation.

Zur Klärung der Frage stellen wir folgende Überlegungen an.

• Für die Zufallsgröße $X$ erhält man $\mu(X) = 64 \cdot 0.5 = 32$ und $\sigma(X) = \sqrt{64 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = 4$. Der beobachtete Wert $x = 40$ liegt $8$ Einheiten vom Erwartungswert $\mu(X) = 32$ entfernt.
• Für die Zufallsgröße $Y$ erhält man $\mu(Y) = 100 \cdot 0.5 = 50$ und $\sigma(Y) = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = 5$. Der beobachtete Wert $x = 60$ liegt $10$ Einheiten vom Erwartungswert $\mu(Y) = 50$ entfernt.
• Bei der Zufallsgröße $Y$ liegt der beobachtete Wert somit weiter vom Erwartungswert entfernt als bei der Zufallsgröße $X$. Ein Vergleich dieser absoluten Entfernungen vom Erwartungswert ist wenig aussagekräftig, da die Verteilungen unterschiedliche Breiten (bzw. Standardabweichungen) haben.
• Sinnvoller ist ein Vergleich relativer Entfernungen vom Erwartungswert in Bezug auf die Standardabweichungen. Hier erhält man folgende Aussagen: Der für $X$ beobachtete Wert $x = 40$ liegt $8 = 2\sigma(X)$ (d.h. zwei Standardabweichungen) vom Erwartungswert $\mu(X) = 32$ entfernt. Der für $Y$ beobachtete Wert $x = 60$ liegt $10 = 2\sigma(Y)$ (d.h. zwei Standardabweichungen) vom Erwartungswert $\mu(Y) = 50$ entfernt. D.h., beide beobachteten Werte liegen relativ zur Streuung gleich weit vom Erwartungswert entfernt – jeweils genau zwei Standardabweichungen.
• Das Ergebnis gleiche relative Entfernung vom Erwartungswert zeigt sich direkt bei der Standardisierung der Binomialverteilungen: Der Wert $x = 40$ für die Zufallsgröße $X$ wird bei der Standardisierung auf $z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{40 - 32}{4} = 2$ verschoben. Der Wert $x = 60$ für die Zufallsgröße $Y$ wird bei der Standardisierung ebenfalls auf $z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{60 - 40}{5} = 2$ verschoben. Die unterschiedlichen Werte für $X$ und $Y$ werden bei der Standardisierung im vorliegenden Beispiel auf denselben $z$-Wert verschoben. Die Standardisierung liefert eine Neuskalieren der Werte, so dass Entfernungen vom Erwartungswert in Vielfachen der Standardabweichung dargestellt werden.

Die Überlegungen im Beispiel lassen sich verallgemeinern. Wir verdeutlichen die Grundidee im folgenden Applet.

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Die Abweichung eines Wertes vom Erwartungswert $\mu$ beschreibt man üblicherweise in Einheiten der Standardabweichung $\sigma$, z.B.: Der Wert liegt $2\sigma$ vom Erwartungswert $\mu$ entfernt. Im Applet wird verdeutlicht, wie sich Abstände vom Erwartungswert bei der Standardisierung verändern.

• Der Wert $x = \mu$ wandert an die Stelle $z = 0$.
• Der Wert $x = \mu + \sigma$ wandert an die Stelle $z = 1$.
• Der Wert $x = \mu - \sigma$ wandert an die Stelle $z = -1$.
• Der Wert $x = \mu + 2\sigma$ wandert an die Stelle $z = 2$.
• Der Wert $x = \mu - 2\sigma$ wandert an die Stelle $z = -2$.
• ...

Abschätzung lokaler Wahrscheinlichkeiten

Die Annäherung der standardisierten Histogramme mit der Gauß-Funktion eröffnet Möglichkeiten zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen. Wir betrachten zunächst die (lokale) Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ für einen Wert $x$ (wie z.B. $x = 17$).

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Anhand des Applets kann man sich folgende Zusammenhänge klarmachen:

• Der Balken im standardisierten Histogramm an der verschobenen Stelle $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ hat die Breite $\frac{1}{\sigma}$ und die Höhe $\sigma \cdot P(X = x)$.
• Die Höhe eines Balkens im standardisierten Histogramm entspricht (bei hinreichend großen $\sigma$) in etwa dem Funktionswert der Gauß-Funktion $\varphi$ an der verschobenen Stelle $z$. Man erhält so $\sigma \cdot P(X = x) \approx \varphi(z)$.
• Die Approximation $\sigma \cdot P(X = x) \approx \varphi(z)$ ist gut, wenn die Laplace-Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist.

Es ergibt sich so folgender Satz:

Wir verdeutlichen den Zusammenhang an einem Beispiel.

Abschätzung globaler Wahrscheinlichkeiten

Mit der Gauß-Funktion lassen sich auch Wahrscheinlichkeit von $X$-Werte-Intervallen $P(x_1 \le X \le x_2)$ bestimmen. Wir verdeutlichen das Vorgehen im Applet exemplarisch für eine Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 60$ und $p = 0.25$.

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Folgende Zusammenhänge ergeben sich hier:

• Das blau eingefärbte Histogramm veranschaulicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$. Die Wahrscheinlichkeit $P(x_1 \le X \le x_2)$ für ein $X$-Werte-Intervall entspricht im Histogramm der Gesamtfläche der Balken von $x_1$ bis $x_2$.
• Wenn man eine Standardisierung des Histogramms vornimmt, dann wandern die Balken zur Wahrscheinlichkeit $P(x_1 \le X \le x_2)$ an Stellen von $z_1 = \frac{x_1 - \mu}{\sigma}$ bis $z_2 = \frac{x_2 - \mu}{\sigma}$. Diese transformierten Balken haben denselben Flächeninhalt wie die Ausgangsbalken. Der Flächeninhalt der transformierten Balken entspricht somit ebenfalls der Wahrscheinlichkeit $P(x_1 \le X \le x_2)$.
• Den Flächenihalt der transformierten Balken kann man mit Hilfe der Gaußfunktion $\varphi$ annähern. Die zu $x_1$ und $x_2$ gehörenden transformierten Stellen liefern die Mitten der äußeren Balken im standardisierten Histogramm. Um die halben Balkenbreiten links von $z_1$ und rechts von $z_2$ zu berücksichtigten, ermittelt man die Intervallgrenzen $z_1' = \frac{x_1 - \mu - 0.5}{\sigma}$ und $z_2' = \frac{x_2 - \mu + 0.5}{\sigma}$. Der Flächeninhalt der transformierten Balken von $x_1$ bis $x_2$ entspricht (bei hinreichend großem $\sigma$) dem Flächeninhalt unter Graph $\varphi$ von $z_1'$ bis $z_2'$. Man erhält somit den folgenden Zusammenhang:

Wir verdeutlichen den Zusammenhang an einem Beispiel.

Die Erkenntnis, dass man das standardisierte Histogramm zu einer Binomialverteilung mit der Gauß-Funktion annähern kann, wurde früher benutzt, um Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen. Es gab noch keine Taschenrechner und Computer, die gesuchte Summen von Binomialverteilungswerten direkt geliefert haben. Man musste die Werte von Binomialverteilungen in Tabellen nachschlagen. Wenn man Summen von Binomialverteilungswerten bilden musste, dann war es meist günstiger, ein Integral bzgl. der Gauß-Funktion zu berechnen. Das musste man dann allerdings auch in einer Tabelle nachschlagen.