Überprüfung – Standardisierung von Binomialverteilungen
Aufgabe 1
Betrachte eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$.
(a)
Der Wert $x$ der Zufallsgröße $X$ wird bei der Standardisierung in einen Wert $z$ mit $1 \lt z \lt 2 $ transformiert.
Erkläre, was das für den Ausgangswert $x$ bedeutet.
(b)
Der Wert $x$ der Zufallsgröße $X$ wird bei der Standardisierung in einen Wert $z$ mit $1 \lt z \lt 2 $ transformiert.
Bestimme die möglichen Werte für $x$ für $n = 100$ und $p = 0.5$ sowie für $n = 100$ und $p = 0.1$.
(d)
Der Wert $x$ der Zufallsgröße $X$ liegt $4$ Einheiten vom Erwartungswert $\mu$ entfernt.
Erkläre, warum diese Angabe wenig aussagekräftig ist, um die Wahrscheinlichkeit $P(X = x)$ abzuschätzen.
Kontrolle
(a)
Wenn $1 \lt z \lt 2$ für den transformierte Wert $z$ gilt, dann gilt $\mu + 1 \sigma \lt x \lt \mu + 2 \sigma$ für den Ausgangswert $x$.
(b)
Betrachte $n = 100$ und $p = 0.5$. Für diese Parameter erhält man den Erwartungswert $\mu = 100 \cdot 0.5 = 50$ und die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = 5$.
Für den Wert $x$ erhält man dann $55 \lt x \lt 60$.
Betrachte jetzt $n = 100$ und $p = 0.1$. Für diese Parameter erhält man den Erwartungswert $\mu = 100 \cdot 0.1 = 10$ und die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = 3$.
Für den Wert $x$ erhält man jetzt $13 \lt x \lt 16$.
(c)
Wenn $x$ um $4$ Einheiten nach oben vom Erwartungswert $\mu$ abweicht, dann bedeutet das für $n = 100$ und $p = 0.5$, dass $x$ in der $\sigma$-Umgebung vom Erwartungswert $\mu$ liegt
(bzw. weniger als $\sigma$ vom Erwartungswert $\mu$ abweicht).
Für $n = 100$ und $p = 0.1$ ergibt sich, dass $x$ nicht mehr in der $\sigma$-Umgebung vom Erwartungswert $\mu$ liegt (bzw. mehr als $\sigma$ vom Erwartungswert $\mu$ abweicht).
Mit der Angabe einer absoluten Entfernung vom Erwartungswert kann man daher keine Aussagen über die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses treffen.
Aufgabe 2
Betrachte eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0.4$.
Benutze die Gauß-Funktion $\varphi$, um die Wahrscheinlichkeit $P(42 \lt X \lt 48)$ abzuschätzen.
Zum Herunterladen: binomialstandardisierung4a.ggb
Benutze den Integralrechner zur Abschätzung des Integrals.
Zum Herunterladen: numerische-integration.ggb
Zur Kontrolle
(a)
Es gilt $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0.4 \cdot 0.6} \approx 4.899 > 3$.
(b)
Zu den Stellen $x_1 = 42$ und $x_2 = 48$ gehören die Intervallgrenzen $z_1' \approx 0.3062$ und $z_2' \approx 1.735$.
(c)
Mit dem Integralrechner erhält man $P(x_1 \le X \le x_2) \approx \int\limits_{z_1'}^{z_2'} \varphi(x) \; dx \approx 0.3387$.
