Vernetzung – Funktionsuntersuchung zur Gauß-Funktion
Zur Orientierung
Die Gauß-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit einer Funktionsuntersuchung zur Gauß-Funktion kannst du dir wichtige Eigenschaften dieser Funktion klarmachen.
Zentrale Eigenschaften der Gauß-Funktion nachweisen
Die Abbildung zeigt den Graph der Gauß-Funktion $\varphi$ mit $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$.
Aufgabe 1
(a) Anhand des Graphen kann man sich zentrale Eigenschaften der Gauß-Funktion Liste klarmachen. Erstelle zunächst eine Übersicht mit den vermuteten Eigenschaften:
- Symmetrie: ...
- Verhalten für $x \rightarrow -\infty$ und $x \rightarrow +\infty$: ...
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: ...
- Extrempunkte: ...
- Wendepunkte: ...
- Monotonie und Krümmungsverhalten: ...
(b) Begründe rechnerisch die vermuteten Eigenschaften.
Integrale zur Gauß-Funktion bestimmen
Zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten benötigt man Integrale zur Gauß-Funktion. Die Berechnung solcher Integrale ist aber problematisch. Die Gauß-Funktion ist integrierbar, da sie stetig ist. Integralberechnungen mit passenden Stammfunktionen sind aber nicht möglich. Es gibt durchaus Stammfunktionen zur Gaußfunktion, z.B. die zugehörige Integralfunktion Integralfunktion $\phi(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} \varphi(t) \; dt$. Die Schwierigkeit besteht darin, dass man solche Stammfunktionen nicht mit elementaren Funktionen darstellen kann. Für Integralberechnungen muss man daher numerische Approximationsverfahren verwenden.
Aufgabe 2
(a) Benutze den numerischen Integralrechner im Applet, um das Integral $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t) \; dt$ zu bestimmen.
Zum Herunterladen: numerische-integration.ggb
(b) Kläre mit dem Integralrechner auch folgende Fragen:
- Betrachte die Fläche unter dem Graph der Gauß-Funktion im Intervall $-1 \le x \le 1$ (das durch die beiden Wendepunkte gebildet wird). Wie groß ist der Anteil dieser Fläche an der Gesamtfläche, die sich zwischen Graph $\varphi$ und der $x$-Achse befindet?
- Betrachte die Fläche unter dem Graph der Gauß-Funktion im Intervall $-2 \le x \le 2$ (das durch die Verdopplung der Entfernung der beiden Wendepunkte vom Hochpunkt gebildet wird). Wie groß ist der Anteil dieser Fläche an der Gesamtfläche zwischen Graph $\varphi$ und der $x$-Achse?
