Erarbeitung
Einen Fachbegriff für Kombinationen von Potenzfunktionen einführen
Zur Modellierung von Halfpipes nutzen wir Kombinationen von Potenzfunkion wie z.B. $f(x) = 0.25x^{16} + 0.25x^4 + 0.5x^2$, die die zusätzliche Bedingung $f(0) = 0$ und $f(1) = 1$ erfüllen.
Für die weiteren Überlegungen verallgemeinern wir die Kombinationsmöglichkeiten und verzichten auf die Zusatzbedingung. Möglich sind dann auch Kombinationen wie diese:
- $f(x) = 2x^3 + 4x^2$
- $f(x) = x^4 + (-2)x^2 = x^4 - 2x^2$
- $f(x) = x^2 + 2x^1 + 4x^0 = x^2 + 2x + 4$
- $f(x) = -x^7 + 0.5x^5 -2x^4 + x - 3$
- ...
Solche Kombinationen von Potenzfunktionen nenn man ganzrationale Funktionen.
Aufgabe 1
Gib selbst 4 weitere Beispiele für ganzrationale Funktionen an.
Ableitungsfunktionen zu einer ganzrationalen Funktion bestimmen
Zielsetzung
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion wie z.B. $f(x) = 0.5x^4 + 0.5x^2$ oder $f(x) = -x^7 + 0.5x^5 -2x^4 + x - 3$.
Gesucht sind Regeln zur Bestimmung der Ableitungsfunktion der vorgegebenen ganzrationalen Funktion.
Das folgende Applet hilft dir bei der Suche nach passenden Regeln.
Zum Herunterladen: ableitung_ganzrationalfunktionen.ggb
Systematisch bei der Suche nach Regeln vorgehen
Wenn man Regelmäßigkeiten und Strukturen herausfinden möchte, dann ist es oft günstig, wenn man systematisch vorgeht und bestimmte Fälle untersucht.
Aufgabe 1
(a) Bestimme mit dem Applet die Ableitungsfunktionen zu folgenden ganzrationalen Funktionen:
- $f(x) = x^4 + x^2$
- $f(x) = x^8 + x^7 + x^3$
- $f(x) = x^{16} + x^4 + x^2$
- $f(x) = x^2 + x^1 + x^0$
- ...
(b) Beschreibe, wie man bei solchen Summen von Potenzfunktionen vorgeht. Teste auch weitere Beispielfunktionen.
Aufgabe 2
(a) Bestimme mit dem Applet die Ableitungsfunktionen zu folgenden ganzrationalen Funktionen:
- $f(x) = 3x^4$
- $f(x) = 2x^8$
- $f(x) = -0.5x^{4}$
- $f(x) = -x^2$
- $f(x) = 2x$
- $f(x) = -x$
- ...
(b) Beschreibe, wie man bei solchen Vielfachen von Potenzfunktionen vorgeht. Teste auch weitere Beispielfunktionen.
Aufgabe 3
(a) Bestimme mit dem Applet die Ableitungsfunktionen zu folgenden ganzrationalen Funktionen:
- $f(x) = -x^4 + 2x^3$
- $f(x) = 5x^8 - 2x^6 - x^5 +3x^2$
- $f(x) = x^3 - 0.2x^2 - x$
- $f(x) = x^2 - 3x + 2$
- $f(x) = -x^4 + 1/3x^3 - 4$
- ...
(b) Beschreibe, wie man bei solchen Kombinationen von Potenzfunktionen vorgeht. Teste auch weitere Beispielfunktionen.
