Erarbeitung

Einen Fachbegriff für Kombinationen von Potenzfunktionen einführen

Zur Modellierung von Halfpipes nutzen wir Kombinationen von Potenzfunkion wie z.B. $f(x)=0.25x^{16}+0.25x^4+0.5x^2$, die die zusätzliche Bedingung $f(0)=0$ und $f(1)=1$ erfüllen.

Für die weiteren Überlegungen verallgemeinern wir die Kombinationsmöglichkeiten und verzichten auf die Zusatzbedingung. Möglich sind dann auch Kombinationen wie diese:

• $f(x)=2x^3+4x^2$
• $f(x)=x^4+(-2)x^2=x^4-2x^2$
• $f(x)=x^2+2x^1+4x^0=x^2+2x+4$
• $f(x)=-x^7+0.5x^5-2x^4+x-3$
• ...

Solche Kombinationen von Potenzfunktionen nenn man ganzrationale Funktionen.

Aufgabe 1

Gib selbst 4 weitere Beispiele für ganzrationale Funktionen an.

Ableitungsfunktionen zu einer ganzrationalen Funktion bestimmen

Das folgende Applet hilft dir bei der Suche nach passenden Regeln.

Zum Herunterladen: ableitung_ganzrationalfunktionen.ggb

Systematisch bei der Suche nach Regeln vorgehen

Wenn man Regelmäßigkeiten und Strukturen herausfinden möchte, dann ist es oft günstig, wenn man systematisch vorgeht und bestimmte Fälle untersucht.

Aufgabe 1

(a) Bestimme mit dem Applet die Ableitungsfunktionen zu folgenden ganzrationalen Funktionen:

• $f(x)=x^4+x^2$
• $f(x)=x^8+x^7+x^3$
• $f(x)=x^{16}+x^4+x^2$
• $f(x)=x^2+x^1+x^0$
• ...

(b) Beschreibe, wie man bei solchen Summen von Potenzfunktionen vorgeht. Teste auch weitere Beispielfunktionen.

Aufgabe 2

(a) Bestimme mit dem Applet die Ableitungsfunktionen zu folgenden ganzrationalen Funktionen:

• $f(x)=3x^4$
• $f(x)=2x^8$
• $f(x)=-0.5x^4$
• $f(x)=-x^2$
• $f(x)=2x$
• $f(x)=-x$
• ...

(b) Beschreibe, wie man bei solchen Vielfachen von Potenzfunktionen vorgeht. Teste auch weitere Beispielfunktionen.

Aufgabe 3

(a) Bestimme mit dem Applet die Ableitungsfunktionen zu folgenden ganzrationalen Funktionen:

• $f(x)=-x^4+2x^3$
• $f(x)=5x^8-2x^6-x^5+3x^2$
• $f(x)=x^3-0.2x^2-x$
• $f(x)=x^2-3x+2$
• $f(x)=-x^4+1/3x^3-4$
• ...

(b) Beschreibe, wie man bei solchen Kombinationen von Potenzfunktionen vorgeht. Teste auch weitere Beispielfunktionen.