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Zusammenfassung - Ableitungsregeln

Die Grundidee

Die Ableitungsfunktion zu einer Ausgangsfunktion kann man mit Hilfe der Definition der Ableitung bestimmen. Hier noch einmal eine Kurzübersicht zu diesem Prozess für die Funktion $f$ mit $f (x) = x^{2}$ .

$\begin{array}{lcl} m (x, x + h) & = & \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = 2 x + h \\ ↓ h \to 0 \\ f^{'} (x_{)} & = & 2 x \end{array}$

Mit Ableitungsregeln geht das viel schneller. Man muss nur die für die gegebene Funktion passenden Regeln kennen.

$\begin{array}{cl} f (x) = x^{2} & Ausgangsfunktion \\ ↓ & Ableitungsregeln \\ f^{'} (x) = 2 x & Ableitungsfunktion \end{array}$

Die Potenzregel

Die Potenzregel beschreibt, wie man die Ableitungsfunktion einer Potenzfunktion direkt bestimmen kann.

Potenzregel

Wenn $f (x) = x^{n}$ , dann gilt $f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}$ (für alle natürlichen Zahlen $n$ ).

Wenn $f (x) = x^{r}$ , dann gilt $f^{'} (x) = r \cdot x^{r - 1}$ (für alle reellen Zahlen $r$ ).

Beispiele

Potenzfunktion	zugehörige Ableitungsfunktion
$f (x) = x^{0} = 1$	$f^{'} (x) = 0 x^{- 1} = 0$
$f (x) = x^{1} = x$	$f^{'} (x) = 1 x^{0} = 1$
$f (x) = x^{2}$	$f^{'} (x) = 2 x^{1} = 2 x$
$f (x) = x^{3}$	$f^{'} (x) = 3 x^{2}$
$f (x) = x^{4}$	$f^{'} (x) = 4 x^{3}$
...	...
$f (x) = x^{- 1} = \frac{1}{x}$	$f^{'} (x) = (- 1) x^{- 2} = - \frac{1}{x^{2}}$
...	...
$f (x) = x^{1 / 2} = \sqrt{x}$	$f^{'} (x) = 1 / 2 \cdot x^{- 1 / 2} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$

Video - Potenzregel für natürliche Exponenten

In diesem Video wird die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten hergeleitet.

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Video - Erweiterung der Potenzregel

In diesem Video wird die Potenzregel erweitert und exemplarisch vorgeführt, wie man diese zur Ableitung von Funktionen mit negativem Exponenten und von Wurzelfunktionen verwenden kann.

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Die Summenregel

Die Summenregel beschreibt, wie man Funktionen ableitet, die als Summe von zwei Funktionen dargestellt werden können.

Summenregel

Wenn $f (x) = u (x) + v (x)$ , dann gilt $f^{'} (x) = u^{'} (x) + v^{'} (x)$ .

Beispiele

Ausgangsfunktion	zugehörige Ableitungsfunktion
$f (x) = x^{4} + x^{2}$	$f^{'} (x) = 4 x^{3} + 2 x$
$f (x) = x^{6} + x^{5}$	$f^{'} (x) = 6 x^{5} + 5 x^{4}$
$f (x) = x^{2} + 1$	$f^{'} (x) = 2 x + 0 = 2 x$
$f (x) = x - 3 = x + (- 3)$	$f^{'} (x) = 1 - 0 = 1$

Video - Die Summenregel

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Die Faktorregel

Die Faktorregel beschreibt, wie man Funktionen ableitet, die als Vielfaches einer anderen Funktion dargestellt werden können.

Faktorregel

Wenn $f (x) = c \cdot u (x)$ , dann gilt $f^{'} (x) = c \cdot u^{'} (x)$ .

Beispiele

Ausgangsfunktion	zugehörige Ableitungsfunktion
$f (x) = 2 \cdot x^{4}$	$f^{'} (x) = 2 \cdot 4 \cdot x^{3} = 8 x^{3}$
$f (x) = 0.5 x^{3}$	$f^{'} (x) = 1.5 x^{2}$
$f (x) = - 2 x^{6}$	$f^{'} (x) = - 12 x^{5}$
$f (x) = - x^{5}$	$f^{'} (x) = - 5 x^{4}$

Video - Die Faktorregel

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Ableitung ganzrationaler Funktionen

Die bisher vorgestellten Regeln kann man beliebig kombinieren. Mit ihnen lassen sich insbesondere die ganzrationalen Funktionen ableiten.

Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die man als Summe aus mit Vorfaktoren versehenen Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten darstellen kann.

Den höchsten Exponent der vorkommenden Potenzfunktionen einer ganzrationalen Funktionen nennt man auch Grad der ganzrationalen Funktion.

Beispiele

ganzrationale Funktion	zugehörige Ableitungsfunktion
$f (x) = 2 \cdot x^{4} + (- 1) \cdot x^{3} + 2 \cdot x^{0} = 2 x^{4} - x^{3} + 2$	$f^{'} (x) = 8 x^{3} - 3 x^{2}$
$f (x) = 0.5 x^{3} - x$	$f^{'} (x) = 1.5 x^{2} - 1$
$f (x) = - 2 x^{6} + 3 x^{4} + x^{2}$	$f^{'} (x) = - 12 x^{5} + 12 x^{3} + 2 x$
$f (x) = - x^{5} - x^{4} - 1$	$f^{'} (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{3}$

Es gilt folgender Zusammenhang.

Ableitung ganzrationaler Funktionen

Wenn man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n - 1$ .

Video - Ableitung ganzrationaler Funktionen

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Die Grundidee

Die Potenzregel

Potenzregel

Beispiele

Video - Potenzregel für natürliche Exponenten

Video - Erweiterung der Potenzregel

Die Summenregel

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Beispiele

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Die Faktorregel

Faktorregel

Beispiele

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Ableitung ganzrationaler Funktionen

Ganzrationale Funktion

Beispiele

Ableitung ganzrationaler Funktionen

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