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Überprüfung - Herleitung einer Ableitungsfunktion

Aufgabe 1

Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f (x) = 0.5 x^{2}$ .

(a) Welche dieser Formel für $m (x, x + h)$ beschreibt für die gegebene Ausgangsfunktion die mittlere Änderungsrate korrekt? Begründe.

m(x, x+h) = 2x+h
m(x, x+h) = x+h
m(x, x+h) = x+0.5h

Kontrolle

$\begin{array}{lcl} m (x, x + h) & = & \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ = & \frac{0.5 (x + h)^{2} - 0.5 x^{2}}{h} \\ = & \frac{0.5 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) - 0.5 x^{2}}{h} \\ = & \frac{x h + 0.5 h^{2}}{h} \\ = & \frac{h \cdot (x + 0.5 h)}{h} \\ = & x + 0.5 h \end{array}$

Diese Formel kann man auch experimentell mit Hilfe des Applets herausfinden.

(b) Welche dieser Formel für $f^{'} (x)$ beschreibt für die gegebene Ausgangsfunktion die Ableitungsfunktion korrekt? Begründe.

f'(x) = 2x
f'(x) = x
f'(x) = 0.5x

Kontrolle

$\begin{array}{ccl} m (x, x + h) & = & x + 0.5 h \\ ↓ & h \to 0 \\ f^{'} (x) & = & x \end{array}$

Diese Formel kann man auch experimentell mit Hilfe des Applets herausfinden.

Die Ableitungsfunktion $f^{'}$ zu einer Ausgangsfunktion $f$ ordnet jedem $x$ -Wert ...

... die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zu.
... die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P (x | f (x))$ zu.
... den Wert $2 x$ zu.

Kontrolle

... die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zu. (wahr)
... die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P (x | f (x))$ zu. (wahr)
... den Wert $2 x$ zu. (falsch: $f^{'} (x) = 2 x$ erhält man z.B. für $f (x) = x^{2}$ , aber nicht für $f (x) = 0.5 x^{2}$ .)

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