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Erarbeitung - Herleitung der Potenzregel

Die Potenzregel begründen

In den vorangehenden Abschnitten hast du die Potenzregel kennengelernt.

Potenzregel

Wenn f(x)=xn (mit einer natürlichen Zahl n), dann gilt f(x)=nxn1.

Hier geht es darum, diese Regel zu begründen. Das Applet hilft dir, die wesentlichen Ideen herauszufinden.

Zum Herunterladen: herleitungpotenzregel.ggb

Aufgabe 1

Wir betrachten als typischen Fall die Potenzfunktion f mit f(x)=x5. Kläre folgende Fragen.

  • Betrachte den vereinfachten Term zu f(x+h). Welche Teilterme enthalten ein h - mit welchen Exponenten? Welcher Teilterm enthält kein h?
  • Wie entsteht der Teilterm 5hx4, wenn man (x+h)5=(x+h)(x+h)(x+h)(x+h)(x+h) ausmultipliziert?
  • Betrachte den vereinfachten Term zu f(x+h)f(x). Welcher Teilterm fällt weg? Welche verbleibenden Teilterme enthalten ein h - mit welchen Exponenten?
  • Betrachte den vereinfachten Term zu f(x+h)f(x)h. Welche Teilterme enthalten ein h? Welcher Teilterm enthält kein h?
  • Welche Teilterme liefern bei der Grenzwertbildung h0 den Wert 0 (und fallen somit beim Ergebnis weg)?.

Aufgabe 2

Vergewissere dich, dass man für andere n-Werte analog schließen kann.

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