Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns hier mit folgender Frage.

Wir setzen dabei voraus, dass die Bewegung eines frei fallenden Körpers mit der Zeit-Weg-Funktion $s(t)=5t^2$ beschrieben wird. Beachte: Wir nutzen hier eine vereinfachte Zeit-Weg-Funktion. Genauere Angaben gibt es im Physikunterricht.

Die Momentangeschwindigkeit beim freien Fall bestimmen

Welche Momentangeschwindigkeit erreicht ein fallender Gegenstand nach einer vorgegebenen Fallzeit? Dieses Problem kannst du mit dem folgenden Applet lösen. Das Applet zeigt die vereinfachte Zeit-Weg-Funktion $s(t)=5t^2$ eines frei fallenden Gegenstands (unter idealen Bedingungen).

Zum Herunterladen: freierfall4.ggb

Aufgabe 1

Bestimme für die in der Tabelle angegebenen konkreten Zeitintervalle jeweils die mittlere Geschwindigkeit. Kontrolliere die berechneten Ergebnisse im Applet.

Zeitintervall	benötigte Zeit $h$	zurückgelegter Weg $s(t+h)-s(t)$	mittlere Geschwindigkeit $m(t,t+h)=\frac{s(t+h)-s(t)}{h}$
$2\le t\le 3$	$1$	$25$	$25$
$2\le t\le 2.1$	$0.1$
$2\le t\le 2.01$
$2\le t\le 2.001$
$2\le t\le 2.0001$
...
$2\le t\le 2+h$

Aufgabe 2

Stelle ausgehend von den berechneten Werten eine Vermutung auf, wie man die mittlere Geschwindigkeit direkt mit einer Formel berechnen kann.

$m(2,2+h)=...$

Aufgabe 3

Die Formel für $m(2,2+h)$ kann man auch herleiten. Setze die Umformungen fort. Alternativ: Erkläre jeden Schritt der Umformung in der Kontrolle.

$\begin{array}{lcl}m(2,2+h)& =& {\displaystyle \frac{s(2+h)-s(2)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5\cdot (2+h{)}^2-5\cdot 2^2}{h}}\\ & =& ...\end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{lcl}m(2,2+h)& =& {\displaystyle \frac{s(2+h)-s(2)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5\cdot (2+h{)}^2-5\cdot 2^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5\cdot (2^2+4h+h^2)-5\cdot 2^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(20+20h+5h^2)-20}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{20h+5h^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{h\cdot (20+5h)}{h}}\\ & =& 20+5h\end{array}$

Aufgabe 4

Betrachte jetzt den Grenzprozess $h\to 0$. Ergänze die Formel für $s^{\prime }(t)$.

$\begin{array}{ccl}s(2,2+h)& =& 20+5h\\ \downarrow & h\to 0& \\ s^{\prime }(2)& =& \dots \end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{ccl}s(2,2+h)& =& 20+5h\\ \downarrow & h\to 0& \\ s^{\prime }(2)& =& 20\end{array}$

Aufgabe 5

Formuliere das Ergebnis: Nach 2 Sekunden Fallzeit ...