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Strukturierung - Herleitung einer Ableitungsfunktion

Zur Orientierung

Wir fassen hier die wichtigsten Schritte und Ergebnisse zur folgenden Leitfrage zusammen.

Leitfrage

Wie kann man die Ableitung $f^{'} (x)$ einer Funktion $f$ an der Stelle $x$ rechnerisch bestimmen?

Beachte:

Bisher haben wir die Stelle, an der die Ableitung ermittelt werden soll, immer mit

x_{0}

bezeichnet. Ab jetzt werden wir für die betrachtete Stelle immer die Bezeichnung

x

verwenden. Mit diesem Bezeichnungswechsel ist ein Wechsel der Sichtweise verbunden. Statt auf einzelne ausgewählte Stellen wird der Fokus ab jetzt auf die Gesamtheit aller Stellen gerichtet. Es ist günstig, diese beliebigen Stellen mit

x

zu bezeichnen.

Das folgende Applet dient zur Verdeutlichung der Überlegungen und zur Kontrolle von Ergebnissen.

Anleitung für das Applet

Im oberen Fenster kann man die betrachtete Funktion durch Eingabe des Funktionsterms festlegen.
Den Punkt $P$ kann man auf dem Funktionsgraph hin und her bewegen. Alternativ kann man die $x$ -Koordinate im entsprechenden Eingabefeld festlegen.
Die Schrittweite $h$ kann man mit dem Schieberegler einstellen. Mit dieser Einstellung wird dann auch die Position von Punkt $Q$ auf Graph $f$ festgelegt.
Die blau dargestellte Strecke dient hier zur Verdeutlichung der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$ .

Zum Herunterladen: ableitung4.ggb

Wir betrachten als Beispiel die im Applet vorgegebene Funktion $f$ mit $f (x) = x^{2}$ .

Eine Formel für $f^{'} (x)$ herleiten

Aufgabe 1

Ergänze in der gezeigten Herleitung die Überschriften der beiden Schritte sowie die die mit ... markiert Teile im Ergebnis.

Herleitung von $f^{'} (x)$

geg: Ausgangsfunktion $f (x) = x^{2}$

Schritt 1: ...

Im Fall der Quadratfunktion $f (x) = x^{2}$ erhält man:

$\begin{array}{lcl} m (x, x + h) & = & \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \\ = & \frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} \\ = & \frac{(x^{2} + 2 x h + h^{2}) - x^{2}}{h} \\ = & \frac{2 x h + h^{2}}{h} \\ = & \frac{h \cdot (2 x + h)}{h} \\ = & 2 x + h \end{array}$

Schritt 2: ...

Im Fall der Quadratfunktion $f (x) = x^{2}$ ergibt sich:

$\begin{array}{ccl} m (x, x + h) & = & 2 x + h \\ ↓ & h \to 0 \\ f^{'} (x) & = & 2 x \end{array}$

Ergebnis: Für die Ausgangsfunktion $f (x) = \dots$ erhält man $f^{'} (x) = \dots$ .

Aufgabe 2

Mit Hilfe der Formel für $f^{'} (x)$ kann man für jeden $x$ -Werte (für den die Ableitung existiert) den zugehörigen Ableitungswert bestimmen. Die Wertetabelle verdeutlich das exemplarisch.

Wertetabelle für $f^{'} (x)$

geg: Ausgangsfunktion $f (x) = x^{2}$

$x$	-2	-1	0	1	2
$f^{'} (x) = 2 x$	-4	-2	0	2	4

Deute $f^{'} (x)$ als Zuordnung, die jedem (zulässigen) $x$ -Wert den entsprechenden Ableitungswert zuordnet. Ergänze hierzu die folgende Auflistung von Zuordnungen.

$f^{'} : 1 \to 2$
$f^{'} : - 1 \to \dots$
$f^{'} : 0.5 \to \dots$
$f^{'} : - 1.5 \to \dots$
$f^{'} : 2.4 \to \dots$

$f^{'} (x)$ als Ableitungsfunktion betrachten

$f^{'} (x)$ ist demnach eine Funktion, die jedem (zulässigen) $x$ -Wert den entsprechenden Ableitungswert zuordnet.

Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion $f^{'}$ zu einer Ausgangsfunktion $f$ ordnet jedem $x$ -Wert die Ableitung von $f$ an dieser Stelle zu - sofern diese Ableitung existiert.

Beispiel

Für die Ableitungsfunktion $f^{'}$ zur Ausgangsfunktion $f$ mit $f (x) = x^{2}$ gilt: $f^{'} (x) = 2 x$ .

Der Begriff Ableiten wird benutzt, um den Vorgang zu beschreiben, die Ableitungsfunktion zu einer Ausgangsfunktion zu ermitteln. Statt „Ableiten“ benutzt man synonym auch den Begriff „Differenzieren“.

Aufgabe 3

✏️️ Wir können erste Erkenntnisse in einem Wissensspeicher festhalten: Trage hier ein, was man unter einer Ableitungsfunktion versteht (oben) und notiere dir auch ein erstes rechnerisches Beispiel (unten links).

Die weiteren rechnerischen Beispiele im Wissensspeicher werden in den Übungen behandelt. Das grafische Beispiel (unten rechts) sowie die Anschauung (oben) werden zu einem späteren Zeitpunkt behandelt.

Strukturierung - Herleitung einer Ableitungsfunktion

Zur Orientierung

Leitfrage

Beachte:

Eine Formel für f′(x) herleiten

Aufgabe 1

Herleitung von f′(x)

Aufgabe 2

Wertetabelle für f′(x)

f′(x) als Ableitungsfunktion betrachten