Zusammenfassung - Herleitung einer Ableitungsfunktion

Herleitung einer Formel für $f^{\prime }(x)$

Das Applet zeigt bereits die Ergebnisse für die präsentierte Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x)=x^2$.

Zum Herunterladen: ableitung4.ggb

Für diese Ausgangsfunktion erhält man $m(x,x+h)=2x+h$ sowie $f^{\prime }(x)=2x$. Im Folgenden zeigen wir, wie man diese Ergebnisse herleitet.

Schritt 1: den Ausdruck $m(x,x+h)$ vereinfachen

Schritt 2: den Grenzprozezz $h\to 0$ durchführen

Ergebnis:

Deutung von $f^{\prime }(x)$ als Ableitungsfunktion

Die Formel $f^{\prime }(x)=2x$ (für die Ausgangsfunktion $f(x)=x^2$) beschreibt eine Zuordnung, die jedem (zulässigen) $x$-Wert den entsprechenden Ableitungswert zuordnet. Die folgende Wertetabelle verdeutlich diese Zuordnung exemplarisch.

$f^{\prime }(x)$ ist demnach eine Funktion, die jedem $x$-Wert den entsprechenden Ableitungswert zuordnet.

Der Begriff Ableiten wird benutzt, um den Vorgang zu beschreiben, die Ableitungsfunktion zu einer Ausgangsfunktion zu ermitteln. Statt „Ableiten“ benutzt man synonym auch den Begriff „Differenzieren“.