Vertiefung

Zur Orientierung

Wir bearbeiten weiterhin diese Fragestellung:

Das folgende Applet dient zur Verdeutlichung der Überlegungen und zur Kontrolle von Ergebnissen.

Anleitung für das Applet

• Im oberen Fenster kann man die betrachtete Funktion durch Eingabe des Funktionsterms festlegen.
• Den Punkt $P$ kann man auf dem Funktionsgraph hin und her bewegen. Alternativ kann man die $x$-Koordinate im entsprechenden Eingabefeld festlegen.
• Die Schrittweite $h$ kann man mit dem Schieberegler einstellen. Mit dieser Einstellung wird dann auch die Position von Punkt $Q$ auf Graph $f$ festgelegt.
• Die blau dargestellte Strecke dient hier zur Verdeutlichung der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$.

Zum Herunterladen: ableitung3.ggb

Im letzten Abschnitt hast du $f^{\prime }(x)$ für konkrete $x$-Werte rechnerisch bestimmt. Die Tabelle zeigt die Ableitungswerte für ausgewählte $x$-Werte. Du kannst sie selbst nochmal mit dem Applet überprüfen.

$x$	-2	-1	0	1	2
$f^{\prime }(x)$	-4	-2	0	2	4

Aufgabe 1

Stelle ausgehend von den Ableitungswerten in der Tabelle eine Vermutung über die Ableitung $f^{\prime }(x)$ auf.

Vermutung Für die Ausgangsfunktion $f(x)=x^2$ erhält man $f^{\prime }(x)=\dots$.

Eine Formel für $f^{\prime }(x)$ herleiten

Wir verallgemeinern das Vorgehen aus dem letzten Abschnitt.

Aufgabe 2

Vereinfache zunächst $m(x,x+h)$. Setze hierzu die bereits begonnene Herleitung fort.

$\begin{array}{lcl}m(x,x+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ & =& ...\end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{lcl}m(x,x+h)& =& {\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2xh+h^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{h\cdot (2x+h)}{h}}\\ & =& {\displaystyle 2x+h}\end{array}$

Aufgabe 3

Mit der Formel für $m(x,x+h)$ kannst du jetzt $f^{\prime }(x)$ bestimmen. Ergänze hierzu die folgende Übersicht.

$\begin{array}{ccl}m(x,x+h)& =& 2x+h\\ \downarrow & h\to 0& \\ f^{\prime }(x)& =& \dots \end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{ccl}m(x,x+h)& =& 2x+h\\ \downarrow & h\to 0& \\ f^{\prime }(x)& =& 2x\end{array}$

Aufgabe 4

Überprüfe, ob die hergeleitete Formel die konkreten Ableitungswerte in der Tabelle oben liefert.