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Vertiefung - Ganzrationale Funktionen

Einen Fachbegriff für Kombinationen von Potenzfunktionen einführen

In den weiteren Kapiteln werden wir Funktionen betrachten, die aus Kombinationen von Potenzfunktionen gebildet werden.

  • $f(x) = 2x^3 + 4x^2$
  • $f(x) = x^4 + (-2)x^2 = x^4 - 2x^2$
  • $f(x) = x^2 + 2x^1 + 4x^0 = x^2 + 2x + 4$
  • $f(x) = -x^7 + 0.5x^5 -2x^4 + x - 3$
  • ...

Die Grundbausteine dieser Funktionen sind Potenzfunktionen. Diese werden - mit Vorfaktoren versehen - alle aufaddiert und bilden so eine neue Funktion.

Solche Kombinationen von Potenzfunktionen nennt man ganzrationale Funktionen.

Ganzrationale Funktion

Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die man als Summe aus mit Vorfaktoren versehenen Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten darstellen kann.

Den höchsten Exponent der vorkommenden Potenzfunktionen einer ganzrationalen Funktionen nennt man auch Grad der ganzrationalen Funktion.

Aufgabe 1

Ergänze in der Tabelle die Gradangaben. Ergänze selbst weitere Einträge.

ganzrationale Funktion Grad
$f(x) = -0.5x^4 + 2x^3 - x + 6$ 4
$f(x) = x^2 - 4x^3 + 2x$
$f(x) = x + 6$
$f(x) = x^6$
$f(x) = 2x^5 + x^4 - 0.01x^{10}$
... ...

Ganzrationale Funktionen ableiten

Mit Hilfe der Potenzregel sowie der Summen- und Faktorregel lassen sich alle ganzrationalen Funktionen ableiten. .

ganzrationale Funktion Ableitungsfunktion
$f(x) = -0.5x^4 + 2x^3 - x + 6$ $f'(x) = -2x^3 + 6x^2 - 1$
$f(x) = x^2 - 4x^3 + 2x$ $f'(x) = ...$
$f(x) = -x^3 + 6$ $f'(x) = ...$
$f(x) = 2x^2 + 4x^3 - 1$ $f'(x) = ...$
$f(x) = 0.2x^5 + 0.5x^4 - 0.01x^{10}$ $f'(x) = ...$
... ...

Aufgabe 2

Bestimme jeweils die Ableitungsfunktion. Ergänze selbst weitere Einträge in der Tabelle.

Aufgabe 3

Analysiere die Beispiele in der Tabelle und ergänze den folgenden Satz.

Ableitung ganzrationaler Funktionen

Wenn man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ ableitet, erhält man ...

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