Vertiefung - Ganzrationale Funktionen
Einen Fachbegriff für Kombinationen von Potenzfunktionen einführen
In den weiteren Kapiteln werden wir Funktionen betrachten, die aus Kombinationen von Potenzfunktionen gebildet werden.
- $f(x) = 2x^3 + 4x^2$
- $f(x) = x^4 + (-2)x^2 = x^4 - 2x^2$
- $f(x) = x^2 + 2x^1 + 4x^0 = x^2 + 2x + 4$
- $f(x) = -x^7 + 0.5x^5 -2x^4 + x - 3$
- ...
Die Grundbausteine dieser Funktionen sind Potenzfunktionen. Diese werden - mit Vorfaktoren versehen - alle aufaddiert und bilden so eine neue Funktion.
Solche Kombinationen von Potenzfunktionen nennt man ganzrationale Funktionen.
Ganzrationale Funktion
Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die man als Summe aus mit Vorfaktoren versehenen Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten darstellen kann.
Den höchsten Exponent der vorkommenden Potenzfunktionen einer ganzrationalen Funktionen nennt man auch Grad der ganzrationalen Funktion.
Aufgabe 1
Ergänze in der Tabelle die Gradangaben. Ergänze selbst weitere Einträge.
| ganzrationale Funktion | Grad |
| $f(x) = -0.5x^4 + 2x^3 - x + 6$ | 4 |
| $f(x) = x^2 - 4x^3 + 2x$ | |
| $f(x) = x + 6$ | |
| $f(x) = x^6$ | |
| $f(x) = 2x^5 + x^4 - 0.01x^{10}$ | ... | ... |
Ganzrationale Funktionen ableiten
Mit Hilfe der Potenzregel sowie der Summen- und Faktorregel lassen sich alle ganzrationalen Funktionen ableiten.
| ganzrationale Funktion | Ableitungsfunktion |
| $f(x) = -0.5x^4 + 2x^3 - x + 6$ | $f'(x) = -2x^3 + 6x^2 - 1$ |
| $f(x) = x^2 - 4x^3 + 2x$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = -x^3 + 6$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = 2x^2 + 4x^3 - 1$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = 0.2x^5 + 0.5x^4 - 0.01x^{10}$ | $f'(x) = ...$ | ... | ... |
Aufgabe 2
Bestimme jeweils die Ableitungsfunktion. Ergänze selbst weitere Einträge in der Tabelle.
Aufgabe 3
Analysiere die Beispiele in der Tabelle und ergänze den folgenden Satz.
Ableitung ganzrationaler Funktionen
Wenn man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ ableitet, erhält man ...
