Erarbeitung - Potenzregel

Potenzfunktionen ableiten

Ableitungsregeln dienen dazu, die Ableitungsfunktionen zu vorgegebenen Ausgangsfunktionen zu bestimmen. Als Ausgangsfunktionen betrachten wir hier die Potenzfunktionen. Die Tabelle zeigt einige Beispiele, wie man die Ableitungsfunktion zu einer Potenzfunktion erhält.

Potenzfunktion	zugehörige Ableitungsfunktion
$f(x)=x^0=1$	$f^{\prime }(x)=0x^{-1}=0$
$f(x)=x^1=x$	$f^{\prime }(x)=1x^0=1$
$f(x)=x^2$	$f^{\prime }(x)=2x^1=2x$
$f(x)=x^3$	$f^{\prime }(x)=3x^2$
$f(x)=x^4$	$f^{\prime }(x)=4x^3$
$f(x)=x^5$	$f^{\prime }(x)=5x^4$
...	...

Aufgabe 1

Formuliere eine allgemeine Regel.

Negative und rationale Exponenten

Mit der Potenzregel können wir bereits viele bekannte Funktionen ableiten. Aber wie sieht es mit $f(x)=\sqrt{x}$ oder $f(x)=\frac{1}{x}$ aus? Hier helfen unsere Kenntnisse zu Potenzen aus vorherigen Klassenstufen; sie werden in diesem Youtube-Video wiederholt.

Aufgabe 2: Negative Exponenten

(a) Funktionen der Form $f(x)=\frac{1}{x}$ lassen sich zu Potenzen umschreiben: $\frac{1}{x}=x^{-1}$. Führe die Tabelle fort:

Funktion mit $x^n$ im Nenner	Schreibweise als Potenzfunktion
$f(x)=\frac{1}{x}$	$f(x)=x^{-1}$
$f(x)=\frac{1}{x^2}$	$f(x)=...$
$f(x)=\frac{1}{x^3}$	$f(x)=...$
$f(x)=\frac{1}{x^4}$	$f(x)=...$
$f(x)=\frac{1}{x^n}$	$f(x)=...$

(b) Tatsächlich gilt die Potenzregel auch für negative Zahlen: Für $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$ gilt entsprechend $f^{\prime }(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$. Erkläre diese Rechnung und bestimme auf gleiche Weise auch die Ableitung der anderen Funktionen in der Tabelle aus (a).

Aufgabe 3: Rationale Exponenten

(a) Auch Wurzelfunktionen lassen sich zu Potenzen umschreiben: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$; $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$ Führe die Tabelle fort:

Wurzelfunktion	Schreibweise als Potenzfunktion
$f(x)=\sqrt{x}$	$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$
$f(x)=\sqrt[3]{x}$	$f(x)=...$
$f(x)=\sqrt[4]{x}$	$f(x)=...$
$f(x)=...$	$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$
$f(x)=\sqrt[4]{x^5}$	$f(x)=...$

(b) Tatsächlich gilt die Potenzregel auch für rationale Zahlen: Für $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ gilt entsprechend $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$. Erkläre diese Rechnung und bestimme auf gleiche Weise auch die Ableitung der anderen Funktionen in der Tabelle aus (a).

Aufgabe 4

Formuliere eine allgemeine Regel.