Übungen - Herleitung einer Ableitungsfunktion

Aufgabe 1

Wir betrachten die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x)=x^2+1$. F. behauptet, dass man für diese Funktion die Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)=2x$ erhält.

(a) Kontrolliere die Formel $f^{\prime }(x)=2x$ zunächst anhand von Beispielen im Applet unter der Aufgabe.

(b) Begründet die Formel $f^{\prime }(x)=2x$ inhaltlich, indem du die betrachtete Ausgangsfunktion mit der bereits betrachteten Ausgangsfunktion $h(x)=x^2$ und deren Ableitungsfunktion vergleichst.

(c) Leite die Formel $f^{\prime }(x)=2x$ her.

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Aufgabe 2

Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x)=-x^2+1$.

(a) Erstelle zunächst mithilfe des Applets unter der Aufgabe eine Wertetabelle für die Ableitungsfunktion $f^{\prime }$. Stelle dann eine Vermutung auf, wie die Formel für $f^{\prime }(x)$ lauten müsste.

(b) Leite die Formel für $f^{\prime }(x)$ her.

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Aufgabe 3

Betrachte die lineare Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x)=0.5x+1$.

(a) Das Applet unter der Aufgabe liefert dir sofort die Formel $f^{\prime }(x)=\dots$. Begründe diese Formel mit der geometrischen Deutung der Ableitung.

(b) Leite die Formel für $f^{\prime }(x)$ her.

(c) Verallgemeinere das Ergebnis: Für eine lineare Ausgangsfunktion $f(x)=mx+b$ erhält man die Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)=\dots$. Verdeutliche das Ergebnis im Applet mit Beispielen.

(d) Betrachte auch diesen Sonderfall: Für eine konstante Ausgangsfunktion $f(x)=b$ erhält man die Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)=\dots$. Verdeutliche das Ergebnis im Applet mit Beispielen.

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