Übungen - Herleitung einer Ableitungsfunktion

Aufgabe 1

Wir betrachten die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2+1$. F. behauptet, dass man für diese Funktion die Ableitungsfunktion $f'(x) = 2x$ erhält.

(a) Kontrolliere die Formel $f'(x) = 2x$ zunächst anhand von Beispielen im Applet unter der Aufgabe.

(b) Begründet die Formel $f'(x) = 2x$ inhaltlich, indem du die betrachtete Ausgangsfunktion mit der bereits betrachteten Ausgangsfunktion $h(x) = x^2$ und deren Ableitungsfunktion vergleichst.

(c) Leite die Formel $f'(x) = 2x$ her.

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Aufgabe 2

Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = -x^2 + 1$.

(a) Erstelle zunächst mithilfe des Applets unter der Aufgabe eine Wertetabelle für die Ableitungsfunktion $f'$. Stelle dann eine Vermutung auf, wie die Formel für $f'(x)$ lauten müsste.

$x$	-2	-1	0	1	2
$f'(x)$

(b) Leite die Formel für $f'(x)$ her.

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Aufgabe 3

Betrachte die lineare Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = 0.5x+1$.

(a) Das Applet unter der Aufgabe liefert dir sofort die Formel $f'(x) = \dots$. Begründe diese Formel mit der geometrischen Deutung der Ableitung.

(b) Leite die Formel für $f'(x)$ her.

(c) Verallgemeinere das Ergebnis: Für eine lineare Ausgangsfunktion $f(x) = mx + b$ erhält man die Ableitungsfunktion $f'(x) = \dots$. Verdeutliche das Ergebnis im Applet mit Beispielen.

(d) Betrachte auch diesen Sonderfall: Für eine konstante Ausgangsfunktion $f(x) = b$ erhält man die Ableitungsfunktion $f'(x) = \dots$. Verdeutliche das Ergebnis im Applet mit Beispielen.

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