Vertiefung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns weiterhin mit folgender Frage.

Im letzten Abschnitt haben wir die momentane Fallgeschwindigkeit nach einer Fallzeit von 2 Sekunden bestimmt. Hier werden wir eine Formel für die momentane Fallgeschwindigkeit $v(t)$ für eine beliebige Fallzeit $t$ herleiten.

Die Momentangeschwindigkeit beim freien Fall bestimmen

Das Applet zeigt die vereinfachte Zeit-Weg-Funktion $s(t)=5t^2$ eines frei fallenden Gegenstands (unter idealen Bedingungen).

Zum Herunterladen: freierfall4.ggb

Aufgabe 1

(a) Schätze mit Hilfe des Applets Momentangeschwindigkeiten für unterschiedliche Fallzeiten ab. Trage die Werte in die folgende Tabelle ein.

$t$ [s]	0	1	2	3	4
$s^{\prime }(t)$ [m/s]			20

(b) Stelle ausgehend von den Werten in der Tabelle eine Vermutung auf, wie man die Momentangeschwindigkeit direkt mit einer Formel berechnen kann.

$s^{\prime }(t)=...$

Aufgabe 2

Leite eine Formel für $m(t,t+h)$ her. Setze hierzu die Umformungen fort. Alternativ: Erkläre jeden Schritt der Umformung in der Kontrolle.

$\begin{array}{lcl}m(t,t+h)& =& {\displaystyle \frac{s(t+h)-s(t)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5\cdot (t+h{)}^2-5\cdot t^2}{h}}\\ & =& ...\end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{lcl}m(t,t+h)& =& {\displaystyle \frac{s(t+h)-s(t)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5\cdot (t+h{)}^2-5t^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5\cdot (t^2+2th+h^2)-5t^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(5t^2+10th+5h^2)-5t^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{10th+5h^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{h\cdot (10t+5h)}{h}}\\ & =& 10t+5h\end{array}$

Aufgabe 3

Betrachte jetzt den Grenzprozess $h\to 0$. Ergänze die Formel für $s^{\prime }(t)$.

$\begin{array}{ccl}s(t,t+h)& =& 10t+5h\\ \downarrow & h\to 0& \\ s^{\prime }(t)& =& \dots \end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{ccl}s(t,t+h)& =& 10t+5h\\ \downarrow & h\to 0& \\ s^{\prime }(t)& =& 10t\end{array}$

Aufgabe 4

Formuliere das Ergebnis: Die momentane Fallgeschwindigkeit $s^{\prime }(t)$ nach $t$ Sekunden Fallzeit ...

Die Zeit-Geschwindigkeit-Funktion betrachten

Die Ableitung $s^{\prime }(t)$ ordnet jeder Fallzeit $t$ die Momentangeschwindigkeit nach dieser Fallzeit zu. Wir deuten sie als Zeit-Geschwindigkeit-Funktion und beschreiben sie – wie in der Physik üblich – mit $v(t)$.

Aufgabe 5

Ergänze die Funktionsterme in der folgenden Zusammenfassung der erzielten Ergebnisse.

Zeit-Weg-Funktion beim freien Fall: $s(t)=\dots$

Zeit-Geschwindigkeit-Funktion beim freien Fall: $v(t)=\dots$