Verbesserung des Modells
Bedingungen hinzufügen
Für den "Übergang von blau nach grün" haben wir ein erstes Modell erstellt. Der Funktionsgraph passt in einem Bereich von 2000 bis 2060 schon ganz gut. Darüber hinaus gibt die Funktion die UN-Pronose nicht gut wider.
Zum Herunterladen: modellierung_bevoelkerungsentwicklung2.ggb
Ziel der folgenden Experimente und Überlegungen ist es, das Modell besser an die UN-Prognose anzupassen.
Aufgabe 1
Füge in der Liste der Bedingungen eine weitere hinzu, z.B. $f(10) = 7.4$. Der Löse-Befehl in GeoGebra liefert die leere Menge, es erscheint auch kein Graph mehr. Deute diese neue Modellierungssituation: "Es gibt keine ganzrationale Funktion vom Grad ...".
Aufgabe 2
Wir ändern den Funktionstyp ab und wählen eine allgemeine ganzrationale Funktion vom Grad 4: $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4$. Im Applet musst du nur die letzte Potenz hinzufügen. Zur Vereinfachung der Eingabe benutzen wir $a4$ statt der Indexschreibweise $a_4$. Achtung: Bei der Eingabe musst du auch das Malzeichen "a4 * x^4" eintippen.
Füge jetzt in der Liste der Bedingungen eine weitere hinzu, z.B. $f(10) = 7.4$. Ergänze in der Liste der Variablen auch den neuen Parameter $a4$. Wenn du jetzt den Löse-Befehl mit der [return]-Taste ausführst, erhältst du eine neue Funktion.
Formuliere eine Regel: "Wenn man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ mit Hilfe von Bedingungen festlegen will, dann muss die Anzahl der Bedingungen ...".
Aufgabe 3
Wir betrachten weiterhin eine allgemeine ganzrationale Funktion vom Grad 4: $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4$.
Bei der Eingabe der weiteren Bedingung hast du dich vertippt: $f(0) = 7.4$ statt $f(10) = 7.4$. Begründe, warum man jetzt keine neue Funktion erhält.
Aufgabe 4
Wir wollen das Modell weiter verbessern und betrachten eine allgemeine ganzrationale Funktion vom Grad 5 (bzw. 6).
Teste verschiedene weitere Bedingungen und beobachte, wie sich diese auf den Graph auswirken. Wahrscheinlich stellst du dabei selbst fest, dass weitere Bedingungen nicht zwangsläufig zu einem besseren Modell führen.
