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Ganzrationale Funktionen vom Grad 3

Das Problem klären

Wir betrachten hier ganzrationale Funktionen vom Grad 3:

Eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 ist eine Funktion der Gestalt $f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ mit reellen Zahlen $a_3, a_2, a_1, a_0$, wobei zusätzlich $a_3 \neq 0$ vorausgesetzt wird.

Folgendes Problem wird hier bearbeitet.

Problem

Wie sehen die Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 aus? Haben sie immer Hoch- und/oder Tiefpunkte? Haben sie immer Wendepunkte? Wenn ja, wie viele?

Eine Argumentationsstrategie verwenden

Die im letzten Abschnitt benutzte Argumentationsstrategie lässt sich auch zur Bearbeitung des aktuellen Problems nutzen.

$f$: ganzrationale Funktion vom Grad $3$

$\Downarrow$

$f'$: ganzrationale Funktion vom Grad $2$

$\Downarrow$

Graph $f'$: hat die Eigenschaften ...

$\Downarrow$

Graph $f$: hat die Eigenschaften ...

Nutze diese Strategie sowie die Argumentationsbasis vom letzten Abschnitt bei der Bearbeitung der folgenden Aufgabe.

Aufgabe 1

(a) Betrachte die im Applet vorgegebene Situation. Begründe mit Hilfe der Argumentationsbasis: Die Ausgangsfunktion f hat genau einen Hoch-, Tief- und Wendepunkt. Blende Graph $f$ zur Kontrolle ein.

(b) Mit dem Schieberegler im unteren Fenster kannst du Graph $f'$ variieren. Zusätzlich kannst du den Scheitelpunkt der Parabel nach oben und unten bewegen. Es ergeben sich hierdurch verschiedene Typen von Graphen. Begründe jeweils mit Hilfe der Argumentationsbasis die Eigenschaften von Graph $f$.

Hinweis: Die $y$-Achse wurde im Applet weggelassen, da sie für die Argumentationen keine Rolle spielz. Mit dem Punkt im oberen Fenster kannst du die Lage der $x$-Achse variieren. Auch diese Lage spielt für die Argumentationen hier keine Rolle.

Zum Herunterladen: grad3.ggb

Eine Übersicht erstellen

In einer Übersicht sollen die möglichen Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 dargestellt werden. Dabei sollen die möglichen Verläufe anhand prototypischer Beispiele verdeutlicht werden.