Die Extremwertbestimmung

Die Zielfunktion herleiten

Zur Bearbeitung des Problems optimale Milchtüte betrachten wir die Funktion, die die Veränderung der zu optimierenden Größe beschreibt:

Ausgangsgröße: die Länge $x$ der quadratischen Grundseite (die variiert werden kann)

Zugeordnete Größe: die Oberfläche $O(x)$ des Quaders zur Grundseitenlänge $x$ (die minimiert werden soll)

Zum Herunterladen: milchtuete2.ggb

Für diese Zielfunktion gilt: $O(x) = 2x^2 + \frac{4000}{x} = 2x^2 + 4000x^{-1}$ mit $0 \text{ < } x \text{ < } \infty$.

Die Oberfläche setzt sich aus den beiden Grundfächen $2 \cdot x^2$ und den vier Seitenflächen $4 \cdot x \cdot h$ zusammen. Mit der Nebenbedingung $x^2 \cdot h = 1000$ erhält man $h = \frac{1000}{x^2}$. Die vier Seitenflächen liefern somit den Beitrag von $4 \cdot x \cdot \frac{1000}{x^2} = \frac{4000}{x}$ zur Gesamtoberfläche.

Eine Milchtüte kann man nur für positive $x$-Werte bauen. Der $x$-Wert kann dabei beliebig klein oder beliebig groß werden. Die Höhe muss dann entsprechend angepasst werden (siehe Applet).

Den Tiefpunkt der Zielfunktion bestimmen

Den Tiefpunkt der Zielfunktion bestimmen wir mit Hilfe der zugehörigen Ableitungsfunktion.

Aufgabe 1

Bestimme die Ableitungsfunktion $O'(x)$.

Kontrolle

$O'(x) = 4x + (-1)\cdot 4000 \cdot x^{-2} = 4x - \frac{4000}{x^2} $

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen der Ableitungsfunktion $O'(x)$. Benutze nur bei Bedarf das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.

Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb

Kontrolle

$O'(x) = 0$ $\Leftrightarrow$ $4x - \frac{4000}{x^2} = 0$ $\Leftrightarrow$ $4x = \frac{4000}{x^2}$ $\Leftrightarrow$ $x = \frac{1000}{x^2}$ $\Leftrightarrow$ $x^3 = 1000$ $\Leftrightarrow$ $x = 10$

Aufgabe 3

Bestimme den Tiefpunkt von Graph $O$.

Kontrolle

Dass Graph $O$ an der Stelle $x = 10$ einen Tiefpunkt hat, sieht man direkt am Graph. Das lässt sich auch mit der 2. Ableitung $O''(x)$ nachweisen.

Die $y$-Koordinate des Tiefpunktes erhält man, indem man $O(10)$ berechnet. Es ergibt sich der Punkt $T(10 | 600)$.

Aufgabe 4

Deute das Ergebnis im Kontext "Milchtüte".

Kontrolle

Für die Grundseitenlänge $x = 10$ [cm] erhält man eine Milchtüte mit einer minimaler Oberfläche. Die Milchtüte wird dabei vereinfacht als Quader mit quadratischer Grundfläche betrachtet. Die Oberfläche beträgt $O(x) = 600$ [cm²].