Extrempunkte

Extrempunkte bestimmen

Wir betrachten weiterhin die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - kx$ mit einem Parameter $k$. Der Parameter $k$ steht hier für eine beliebige reelle Zahl.

Zum Herunterladen: funktionenschar1.ggb

Aufgabe 1 (leicht)

(a) Betrachte konkrete $k$-Werte (z.B. $k = 4$ und $k = -1$). Bestimme jeweils die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) von $f$.

(b) Begründe: Wenn $k \text{ < } 0$, dann hat $f$ keine Extrempunkte.

(c) Begründe: Wenn $k = 0$, dann hat $f$ ebenfalls keine Extrempunkte.

Aufgabe 2 (gar nicht so schwer)

Führe die Bestimmung der Extrempunkte allgemein für ein beliebiges $k > 0$ durch. Behandle $k$ wie eine Zahl, die man noch nicht festgelegt hat.

Aufgabe 3 (gar nicht so schwer)

Für ein beliebiges $k > 0$ erhält man einen Tiefpunkt $T \left( \sqrt{k}|-\frac{2}{3}k\sqrt{k} \right)$ und einen Hochpunkt $H \left( -\sqrt{k}|\frac{2}{3}k\sqrt{k} \right)$. Begründe:

• Je größer $k$ (mit $k > 0$), desto größer ist die $x$-Koordinate des Tiefpunktes und desto kleiner ist die $y$-Koordinate des Tiefpunktes.
• Je größer $k$ (mit $k > 0$), desto kleiner ist die $x$-Koordinate des Hochpunktes und desto größer ist die $y$-Koordinate des Hochpunktes.
• Für jedes $k$ (mit $k > 0$) liegen der Hoch- und Tiefpunkt punktsymmetrisch zum Ursprung zueinander.