Die Zielfunktion
Das Schachtelvolumen mit einer Funktion beschreiben
Wir bearbeiten weiterhin das folgende Optimierungsproblem.
Optimierungsproblem optimale Schachtel
Für welche Einschneidetiefe $x$ erhält man ein maximales Schachtelvolumen?
Dieses Problem lässt sich mit mit Hilfe der folgenden Begriffe strukturiert beschreiben:
Bei einem Optimierungsproblemen gibt (in den hier betrachteten Fällen) eine Variationsgröße und eine Extremalbedingung.
Variationsgröße: Die Einschneidetiefe (auf einem DIN-A4-Blatt) kann variiert werden.
Extremalbedingung: Die Variationsgröße soll so eingestellt werden, dass das Volumen der Schachtel maximal wird.
Zur Bearbeitung des Optimierungsproblems betrachten wir die Funktion, die die Veränderung der zu optimierenden Größe beschreibt:
Ausgangsgröße: die Einschneidetiefe $x$ (die variiert werden kann)
Zugeordnete Größe: das Volumen $V(x)$ der Schachtel zur Einschneidetiefe $x$ (das optimiert) werden soll
Man nennt diese Funktion auch Zielfunktion, da man mit ihrer Hilfe das Ziel der Optimierung beschreiben kann.
Das Problem besteht jetzt darin, das Maximum der Zielfunktion zu bestimmen.
Das Applet verdeutlicht die Zielfunktion zum Problem "optimale Schachtel". Mit dem Punkt $X$ im unteren Fenster kannst du die Einschneidetiefe $x$ variieren. Im oberen Fenster werden dann die zugeordneten Werte $V(x)$ grafisch dargestellt.
Zum Herunterladen: schachtelvolumenfunktion.ggb
Aufgabe 1
(a) Erkläre nochmal, wie man zur Funktionsgleichung $V(x) = (29.7 - 2x) \cdot (21 - 2x) \cdot x$ gelangt.
(b) Gib die Definitionsmenge der Funktion $V(x)$ an. Berücksichtige dabei, dass man nur für bestimmte $x$-Werte eine Schachtel bauen kann. Verdeutliche die Definitionsmenge auch am Graph der Funktion $V$.
(c) Zeige durch Ausmultiplizieren, dass man $V(x)$ aus so darstellen kann: $V(x) = 4x^3 - 101.4x^2 + 623.7x$.
Aufgabe 2
Mit der Darstellung $V(x) = 4x^3 - 101.4x^2 + 623.7x$ kannst du jetzt den Hochpunkt von Graph $V$ bestimmen. Benutze bei Bedarf das Gleichungstool zur Nullstellenbestimmung.
Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb
