Lineares Gleichungssystem

Bedingungen in Gleichungen überführen

Im letzten Abschnitt wurde eine Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften modelliert. Wir betrachten zunächst grob vereinfachte Zahlenwerte um die Rechnungen einfacher zu gestalten.

Funktionstyp: ganzrationale Funktion vom Grad 3

$f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

Bedingungen an die Funktion:

$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad f(0) & = & 6 \\ [2] &\quad f''(0) & = & 0 \\ [3] &\quad f(5) & = & 9 \\ [4] &\quad f'(5) & = & 0 \end{array}$

Aus den Bedingungen lassen sich jetzt Gleichungen herleiten.

Aufgabe 1

(a) Die Bedingung $f(0) = 6$ lässt sich in eine Gleichung übersetzen. Erläutere das Vorgehen.

• Bedingung: $f(0) = 6$
• Einsetzung: $a_3 \cdot 0^3 + a_2 \cdot 0^2 + a_1 \cdot 0 + a_0 = 6$
• Vereinfachung: $a_0 = 6$

(b) Gehe analog bei der Bedingung $f(5) = 9$ vor.

• Bedingung: $f(5) = 9$
• Einsetzung: ...
• Vereinfachung: ...

(c) Betrachte die Bedingung $f'(5) = 0$. Nutze die Ableitung $f'(x) = 3a_3 x^2 + 2 a_2 x + a_1$, um auch hier eine Gleichung zu erzeugen.

• Bedingung: $f'(5) = 0$
• Einsetzung: ...
• Vereinfachung: ...

(d) Gehe analog bei der Bedingung $f''(0) = 0$ vor.

• Bedingung: $f''(0) = 0$
• Einsetzung: ...
• Vereinfachung: ...

Das Gleichungssystem lösen

Die Bedingungen liefern ein Gleichungssystem, das im vorliegenden Fall aus 4 linearen Gleichungen besteht.

Bedingungen:

$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad f(0) & = & 6 \\ [2] &\quad f''(0) & = & 0 \\ [3] &\quad f(5) & = & 9 \\ [4] &\quad f'(5) & = & 0 \end{array}$

Lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrcrcrcrcr} [1] &\quad & & & & & & a_0 & = & 6 \\ [2] &\quad & & 2a_2 & & & & & = & 0 \\ [3] &\quad 125a_3 & + & 25a_2 & + & 5a_1 & + & a_0 & = & 9 \\ [4] &\quad 75a_3 & + & 10a_2 & + & a_1 & & & = & 0 \end{array}$

Aufgabe 2

(a) Das vorliegende Gleichungssystem kannst du durch geschicktes Einsetzen selbst lösen.

Zur Kontrolle kannst du das folgende LGS-Tool benutzen. Werte die Zeile 5 mit der [Return]-Taste aus.

Zum Herunterladen: lgs_loesen.ggb

(b) Entwickle ein lineares Gleichungssystem für realistischere Bedingungen (passend zu einem der UN-Graphen) und löse es mit dem LGS-Tool. Zur Kontrolle: Du solltest dann dieselben Ergebnisse erhalten wie im Applet im vorherigen Abschnitt.

Hinweis

Im Kapitel Lineare Gleichungssysteme erfährst du, wie man beim Lösen linearer Gleichungssysteme systematisch vorgeht.