Das Optimierungsproblem - Version 2

Das Optimierungsproblem abändern

Die Herstellung von Getränkedosen ist heutzutage ein komplizierter Prozess. Information über diesen Prozess kann du dir auf der Webseite Aluminium-Informationsportal oder im folgenden Video beschaffen.

Für unsere Überlegungen hier vereinfachen wir die Form und betrachten weiterhin zylinderförmige Aluminimdosen.

Statt der Oberfläche betrachten wir jetzt den Materialverbrauch. Hierzu müssen wir die unterschiedliche Dicke der jeweiligen Blechteile (Boden, Wand, Deckel) beachten. Wir gehen von folgenden Daten aus.

• Boden: $0.3$ mm
• Seitenwand: $0.1$ mm
• Deckel: $0.2$ mm

Es ergibt sich das etwas abgewandelte Optimierungsproblem.

Variationsgröße: Der Radius der Grundfläche soll so eingestellt werden, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Extremalbedingung: Das Gesamtvolumen der Blechteile des Zylinders soll minimal werden.

Nebenbedingung: Das Volumen des Quaders soll 290 ml bzw. $290$ [cm³] betragen. Wir berücksichtigen hier, dass eine Dose im oberen Teil nicht ganz gefüllt ist.

Aufgabe 1

Entwickle eine Zielfunktion, mit der man die zu optimierende Größe in Abhängigkeit der variablen Grundgröße beschreibt.

Aufgabe 2

Bestimme den Tiefpunkt der Zielfunktion.

Aufgabe 3

Bestimme mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2 die Abmessungen (Radius bzw. Durchmesser und Höhe) der optimalen Getränkedose. Vergleiche mit den Abmessungen realer Getränkedosen.

Aufgabe 4

Auch in dieser Version des Optimierungsproblems haben wir Vereinfachungen vorgenommen. Erkläre, was im Vergleich zur Herstellung einer realen Dose noch nicht berücksichtigt wurde.