Ganzrationale Funktionen vom Grad 4
Das Problem klären
Wir betrachten jetzt ganzrationale Funktionen vom Grad 4:
Eine ganzrationale Funktion vom Grad 4 ist eine Funktion der Gestalt $f(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ mit reellen Zahlen $a_4, a_3, a_2, a_1, a_0$, wobei zusätzlich $a_4 \neq 0$ vorausgesetzt wird.
Folgendes Problem wird hier bearbeitet.
Problem
Wie sehen die Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 4 aus? Haben sie immer Hoch- und/oder Tiefpunkte? Haben sie immer Wendepunkte? Wenn ja, wie viele?
Eine Argumentationsstrategie verwenden
Die bereits bewährte Argumentationsstrategie lässt sich auch zur Bearbeitung des aktuellen Problems nutzen.
$f$: ganzrationale Funktion vom Grad $4$
$\Downarrow$
$f'$: ganzrationale Funktion vom Grad $3$
$\Downarrow$
Graph $f'$: hat die Eigenschaften ...
$\Downarrow$
Graph $f$: hat die Eigenschaften ...
Nutze diese Strategie sowie die Argumentationsbasis vom letzten Abschnitt bei der Bearbeitung der folgenden Aufgabe.
Aufgabe 1
(a) Betrachte die im Applet vorgegebene Situation. Begründe mit Hilfe der Argumentationsbasis: Die Ausgangsfunktion f hat genau einen Hochpunkt, zwei Tief- und zwei Wendepunkte. Blende Graph $f$ zur Kontrolle ein.
(b) Mit den Schiebereglern im unteren Fenster kannst du Graph $f'$ variieren. Zusätzlich kannst du den Punkt auf Graph $f'$ nach oben und unten bewegen. Es ergeben sich hierdurch verschiedene Typen von Graphen. Begründe jeweils mit Hilfe der Argumentationsbasis die Eigenschaften von Graph $f$.
Hinweis: Die $y$-Achse wurde im Applet weggelassen, da sie für die Argumentationen keine Rolle spielz. Mit dem Punkt im oberen Fenster kannst du die Lage der $x$-Achse variieren. Auch diese Lage spielt für die Argumentationen hier keine Rolle.
Zum Herunterladen: grad4.ggb
Eine Übersicht erstellen
In einer Übersicht sollen die möglichen Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 4 dargestellt werden. Dabei sollen die möglichen Verläufe anhand prototypischer Beispiele verdeutlicht werden.
Aufgabe 2
Erstelle selbstständig eine Tabelle, in der die möglichen Verläufe der Graphen von ganzrationalen Funktionenvom Grad 4 anhand von Beispielen dargestellt werden. Gehe analog zum Fall "ganzrationale Funktionen vom Grad 3" im letzten Abschnitt vor.
Aufgabe 3
Stimmt das: Jede ganzrationale Funktion vom Grad 4 hat genau zwei Wendepunkte?
Begründe (mit einem passenden Beispiel).
