Exemplarische Betrachtungen
Potenzfunktionen betrachten
Wir betrachten hier Potenzfunktionen als Randfunktionen - also Funktionen der Gestalt $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$). Im Applet kannst du den Exponent $n$ passend eingeben.
Zum Herunterladen: integralpotenzfunktionen.ggb
Bearbeite die folgenden Aufgaben und ergänze dabei die fehlenden Einträge in der Tabelle.
| $f(x)$ | $I_0(x)$ | $A(x)$ | $I_0(x) = ... \cdot A(x)$ | $I_0'(x)$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x) = x^0 = 1$ | $I_0(x) = x$ | $A(x) = x$ | $I_0(x) = 1 \cdot A(x)$ | $I_0'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^1 = x$ | $I_0(x) = ...$ | $A(x) = ...$ | $I_0(x) = ... \cdot A(x)$ | $I_0'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^2$ | $I_0(x) = ...$ | $A(x) = ...$ | $I_0(x) = ... \cdot A(x)$ | $I_0'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^3$ | $I_0(x) = ...$ | $A(x) = ...$ | $I_0(x) = ... \cdot A(x)$ | $I_0'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^4$ | $I_0(x) = ...$ | $A(x) = ...$ | $I_0(x) = ... \cdot A(x)$ | $I_0'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^5$ | $I_0(x) = ...$ | $A(x) = ...$ | $I_0(x) = ... \cdot A(x)$ | $I_0'(x) = ...$ |
Aufgabe 1
Betrachte die Fälle, die du bereits kennst.
(a) Den Fall $n = 0$ haben wir bereits betrachtet - es gilt dann $f(x) = 1$. Begründe noch einmal geometrisch, dass man $I_0(x) = x$ erhält.
(b) Den Fall $n = 1$ haben wir auch bereits betrachtet - es gilt dann $f(x) = x$. Begründe auch hier noch einmal geometrisch, dass man $I_0(x) = \frac{1}{2}x^2$ erhält.
(c) Den Fall $n = 2$ haben wir ebenfalls schon betrachtet - es gilt dann $f(x) = x^2$. Mit Hilfe von Grenzwerten von Produktsummen haben wird das Ergebnis $I_0(x) = \frac{1}{3}x^3$ erhalten. Schaue das nochmal nach.
Aufgabe 2
Betrachte die Fälle, die neu sind.
(a) Betrachte den Fall $n = 3$. Es gilt dann $f(x) = x^3$. Stelle zuerst eine Vermutung über $I_0(x)$ auf. Überprüfe die Vermutung dann im Applet.
Ergebnis: Für $f(x) = x^3$ gilt $I_0(x) = ...$.
(b) Betrachte im Applet auch den Fall $n = 4$ und $n = 5$. Formuliere eine allgemeine Regel.
Regel: Für $f(x) = x^n$ gilt $I_0(x) = ...$.
(c) Im Applet kannst man ein Rechteck (in orange gepunktet) einblenden. Das Rechteck zur Stelle $x$ wird passend zur Funktion $f(x) = x^n$ gebildet und hat dann den Flächeninhalt $A(x) = x^{n+1}$. Der durch $I_0(x)$ dargestellte Flächeninhalt zur Funktion $f(x) = x^n$ ergibt jeweils einen bestimmten Anteil am Rechteckflächeninhalt $A(x)$. Beschreibe, wie man diesen Anteil erhält.
Aufgabe 3
Bestimme jeweils die Ableitung von $I_0(x)$. Was fällt auf? Formuliere den gefundenen Zusammenhang.
Regel: Für $f(x) = x^n$ gilt $I_0'(x) = ...$.
