Stammfunktionen von Potenzfunktionen
Stammfunktionen bestimmen
Wir betrachten folgende Situation:
Gegeben ist eine Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$).
Gesucht ist eine Stammfunktion $F$ von $f$ (d.h. es muss $F'(x) = f(x)$ gelten).
Das Applet hilft dir bei der Bestimmung von Stammfunktionen.
Zum Herunterladen: stammfunktionen1.ggb
Wie funktioniert das Applet?
Im Applet wird die Ausgangsfunktion $f$ im unteren Fenster eingegeben. Im oberen Fenster kannst du dann einen Vorschlag für eine Stammfunktion $F$ eingeben. Im unteren Fenster wird zusätzlich zum Graph der Ausgangsfunktion $f$ der Graph von $F'$ angezeigt. Wenn die beiden Graphen übereinstimmen, dann ist $F$ tatsächlich eine Stammfunktion von $f$.
Aufgabe 1
(a) Begründe, warum die im Applet voreingestellte Funktion $F$ noch keine Stammfunktion von $f$ ist.
(b) Ändere die Funktionsgleichung von $F$ so ab, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Kontrolliere anhand der Graphen im unteren Fenster.
Aufgabe 2
Trage das Ergebnis aus Aufgabe 1 in der Tabelle ein. Bestimme für die weiteren Potenzfunktionen analog eine Stammfunktion.
| Ausgangsfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ |
|---|---|
| $f(x) = x^0 = 1$ | ... |
| $f(x) = x^1 = x$ | ... |
| $f(x) = x^2$ | ... |
| $f(x) = x^3$ | ... |
| $f(x) = x^4$ | ... |
| $f(x) = x^n$ | ... |
Aufgabe 3
Formuliere eine Regel:
Wenn $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$), dann ist $F(x) = ...$ ...
