Geometrische Betrachtungen
Flächenentwicklungen betrachten
Wir betrachten folgende Situation:
Gegeben ist eine Randfunktion $f$ und eine Stelle $a$ (aus der Definitionsmenge von $f$).
Gesucht ist die zugehörige Integralfunktion $I_a$, die geometrisch orientierte Flächeninhalte zur Randfunktion beschreibt.
Zum Herunterladen: integrieren3.ggb
Den Graph der Integralfunktion $I_a$ erhältst du, indem du zuerst $a$ im Eingabefeld vorgibst und dann $x$ variierst.
Aufgabe 1
Trage in der Tabelle die Eigenschaften der Integralfunktion $I_a$ ein. Begründe sie jeweils geometrisch.
| Eigenschaft der Randfunktion $f$ | hieraus folgt | Eigenschaft der Integralfunktion $I_a$ |
|---|---|---|
| Graph $f$ verläuft im Intervall $I$ im positiven Bereich. (d.h.: $f(x) > 0$ für alle $x \in I$). | $\Rightarrow$ | $I_a$ ist im Intervall $I$ streng monoton steigend. |
| Graph $f$ verläuft im Intervall $I$ im negativen Bereich. (d.h.: $f(x) \text{ < } 0$ für alle $x \in I$). | $\Rightarrow$ | ... |
| $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $+/-$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von positiven zu negativen Werten.) | $\Rightarrow$ | ... |
| $f$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle mit einem $-/+$-Vorzeichenwechsel. (d.h. $f(x)$ wechselt an der Stelle $x$ von negativen zu positiven Werten.) | $\Rightarrow$ | ... |
| $f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt oder Tiefpunkt. | $\Rightarrow$ | ... |
Aufgabe 2
Warum unterstützt die Tabelle den Zusammenhang, dass die Randfunktion die Ableitungsfunktion der zugehörigen Integralfunktionen ist? Begründe mit Ergebnissen aus der Differentialrechnung.
