Integralberechnung
Eine Stammfunktion verwenden
Im den letzten Kapitel wurde der folgende Zusammenhang zwischen Integralfunktionen und Stammfunktionen zu einer Randfunktion hergestellt:
Ist $I_a(x)$ eine Integralfunktion zur Randfunktion $f(x)$ und $F(x)$ eine beliebige Stammfunktion von $f(x)$, so gilt $I_a(x) = F(x) - F(a)$.
Wir nutzen diesen Zusammenhang, um Integrale zu berechnen.
Zum Herunterladen: integralfunktionalsstammfunktion2.ggb
Betrachte die folgende Situation.
Gegeben ist eine Randfunktion $f$ und ein Intervall $a \leq x \leq b$ (das in der Definitionsmenge von $f$ liegt).
Gesucht ist das Integral $I_a(b)$ zur Randfunktion $f$.
Aufgabe 1
Begründe mit Hilfe dem Applet:
Man erhält $I_a(b)$, indem man eine Stammfunktion $F(x)$ zur Randfunktion bestimmt und dann so rechnet: $I_a(b) = F(b) - F(a)$.
Aufgabe 2
(a) Erläutere die Integralberechnung in der ersten Zeile der Tabelle.
(b) Berechne analog die Integrale in den weiteren Zeilen der Tabelle.
| Randfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ | Integral $I_a(b)$ |
|---|---|---|
| $f(x) = -\frac{3}{5}x^2+2x$ | $F(x) = -\frac{1}{5}x^3+x^2$ | $\begin{array}{ccl} I_1(4) & = & F(4) - F(1) \\ & = & 3.2 - 0.8 \\ & = & 2.4 \end{array}$ |
| $f(x) = x^2$ | $F(x) = ...$ | $I_1(3) = ...$ |
| $f(x) = 2-0.5x$ | $F(x) = ...$ | $I_{-1}(2) = ...$ |
| $f(x) = -\frac{1}{3}x^3+2x$ | $F(x) = ...$ | $I_{-1}(1) = ...$ |
| $f(x) = x^4$ | $F(x) = ...$ | $I_{0}(1) = ...$ |
