Strukturierung - Integralfunktion
Integrale mit einer Integralfunktion beschreiben
Betrachte die Situation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ (aus der Definitionsmenge von $f$) gegeben sind. Für verschiedene $x$-Werte kann man jetzt das Integral $I_a(x)$ bestimmen.
Zum Herunterladen: integralfunktion8.ggb
Gegeben ist die Randfunktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{2}x$ und die Stelle $a = 0$.
Gesucht sind die Integralwerte $I_a(x)$ für verschiedene bzw. beliebige $x$-Werte.
Aufgabe 1
(a) Ergänze die fehlenden Einträge in der Tabelle.
(b) Begründe die Formel $I_a(x) = \frac{1}{4} x^2$ mit Hilfe einer Flächenberechnung.
$x$ | $I_a(x)$ |
---|---|
$0$ | $0$ |
$2$ | $...$ |
$4$ | ... |
... | ... |
$x$ | $\frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{2}x = \frac{1}{4} x^2$ |
Aufgabe 2
Ergänze die folgende Begriffklärung.
Betrachte die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegegeben ist. Die Integralfunktion $I_a$ ordnet jedem $x$ ...
Aufgabe 3
Im Applet kann man auch $x$-Werte einstellen, die links von $a$ liegen.
Erläutere, dass es auch in solchen Fällen Sinn macht, das Integral von $f$ von $a$ bis $x$ zu bestimmen. Man muss dann aber die Orientierung von Flächeninhalten neu festlegen. Die Unterscheidung zwischen "liegt unterhalb der $x$-Achse" und "liegt oberhalb der $x$-Achse" reicht dann nicht mehr. Bei einer Neufestlegung kann man stattdessen den Umlaufsinn nutzen und zwischen "gegen den Uhrzeigersinn" und "im Uhrzeigersinn" unterscheiden.