Integralschreibweisen
Neue Schreibweisen verwenden
In der Integralrechnung nutzt man Schreibweisen, die sich im Laufe der Zeit etabliert haben. Diese standardisierten Schreibweisen werden hier mit den bisher benutzten verknüpft.
Die Integralberechnung mit Hilfe von Stammfunktionen haben wir bisher so beschrieben:
Ist $F(x)$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f(x)$, so kann man das Integral $I_a(b)$ mit der Stammfunktion $F(x)$ so berechnen: $I_a(b) = F(x) - F(b)$.
Hier derselbe Zusammenhang mit Integralschreibweisen:
Ist $F(x)$ eine beliebige Stammfunktion zur Randfunktion $f(x)$, so kann man das Integral $I_a(b)$ mit der Stammfunktion $F(x)$ so berechnen: $\underbrace{\int\limits_a^b f(x) dx}_{I_a(b)} = \underbrace{\left[ F(x) \right]_a^b}_{F(b) - F(a)}$.
Das Beispiel verdeutlicht diese neue Schreibweise.
$\int\limits_1^4 \underbrace{\left( -\frac{3}{5}x^2+2x \right)}_{f(x)} dx = \left[ \underbrace{-\frac{1}{5}x^3+x^2}_{F(x)} \right]_1^4 = \left( \underbrace{-\frac{1}{5}4^3+4^2}_{F(b)} \right) - \left( \underbrace{-\frac{1}{5}1^3+1^2}_{F(a)} \right) = 3.2 - 0.8 = 2.4$.
Beachte die unterschiedliche Bedeutung der Klammern: Die eckige Klammer mit den beiden Zahlen an der rechten Klammer steht für eine Differenzbildung. Die runden Klammern werden benutzt, um algebraische Einheiten zu bilden.
Aufgabe 1
(a) Schreibe die Integralberechnungen zur Tabelle in der neuen Schreibweise auf.
| Randfunktion $f$ | Stammfunktion $F$ | Integral $I_a(b)$ |
|---|---|---|
| $f(x) = -\frac{3}{5}x^2+2x$ | $F(x) = -\frac{1}{5}x^3+x^2$ | $\begin{array}{ccl} \int\limits_1^4 \left( -\frac{3}{5}x^2+2x \right) dx & = & \left[ -\frac{1}{5}x^3+x^2 \right]_a^b \\ & = & \left( -\frac{1}{5}4^3+4^2 \right) - \left( -\frac{1}{5}1^3+1^2 \right) \\ & = & 3.2 - 0.8 \\ & = & 2.4 \end{array}$ |
| $f(x) = x^2$ | $F(x) = ...$ | $\int\limits_1^3 \left( x^2 \right) dx = ...$ |
| $f(x) = 2-0.5x$ | $F(x) = ...$ | $\int\limits_{-1}^2 \left( 2 - 0.5x \right) dx = ...$ |
| $f(x) = -\frac{1}{3}x^3+2x$ | $F(x) = ...$ | $\int\limits_{-1}^1 \left( -\frac{1}{3}x^3+2x \right) dx = ...$ |
| $f(x) = x^4$ | $F(x) = ...$ | $\int\limits_0^1 \left( x^4 \right) dx = ...$ |
(b) Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.
Zum Herunterladen: integralschreibweise1.ggb
