Vertiefung - Beweisskizze zum Hauptsatz
Den Hauptsatz verstehen und begründen
In den vorangehenden Abschnitten wurde der folgende fundamentale Zusammenhang zwischen einer vorgegebenen Randfunktion und den zugehörigen Integralfunktionen hergestellt.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Betrachte die Ausgangssituation, dass eine Randfunktion $f$ und eine Zahl $a$ aus der Definitionsmenge von $f$ gegegeben ist. Wenn die Randfunktion keine Sprungstellen hat (man sagt auch: wenn sie stetig ist), dann gilt:
$I_a'(x) = f(x)$
Die Ableitung einer Integralfunktion $I_a$ zur Randfunktion $f$ ergibt die ursprüngliche Randfunktion $f$.
Bisher wurde dieser Zusammenhang nur anhand von Beispielen überprüft und mit Hilfe inhaltlicher und geometrischer Betrachtungen plausibel gemacht.
Ziel dieses Abschnittes ist es, einen Beweis zum Hauptsatz zu skizzieren. Betrachte hierzu das folgende Applet.
Zum Herunterladen: hauptsatzbeweis.ggb
Mache dir die folgenden Überlegungen alle anhand des Appelts klar.
Überlegung 1:
Die Ableitung $I_a'(x)$ erhält man, indem man mittlere Änderungsraten für immer kleinere $h$-Werte bestimmt. Die mittleren Änderungsraten entsprechen den Steigungen der Sekanten zu den betrachteten Intervallen.
$\begin{array}{ccl} \displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}} & \\ \downarrow & h \rightarrow 0 \\ I_a'(x) & \end{array}$
Blende im Applet die Sekante im oberen Fenster ein. Bewege den Punkt zur Stelle $x+h$ im unteren Fenster auf den Punkt zur Stelle $x$ zu. Die Sekantensteigungen nähern sich dann der Ableitung $I_a'(x)$ an.
Überlegung 2:
Betrachte den Zähler $I_a(x+h) - I_a(x)$ der mittleren Änderungsrate bzw. Sekantensteigung $\displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}}$. Blende diesen Wert im oberen und im unteren Fenster ein. Der Term $I_a(x+h) - I_a(x)$ beschreibt den Flächenzuwachs der Randfunktion $f$ im Intervall von $x$ bis $x+h$.
Überlegung 3:
Der Flächenzuwachs $I_a(x+h) - I_a(x)$ der Randfunktion $f$ im Intervall von $x$ bis $x+h$ kann mit einem Rechteck verdeutlicht werden. Man bildet das Rechteck so, dass es denselben orientierten Flächeninhalt wie der Flächenzuwachs $I_a(x+h) - I_a(x)$ zur Randfunktion $f$.
Überlegung 4:
Das Rechteck zum Flächenzuwachs $I_a(x+h) - I_a(x)$ hat eine Höhe, die einem Funktionswert $f(...)$ an einer Stelle aus dem Intervall von $x$ bis $x+h$ entspricht, sowie eine Breite, die der Schrittweite $h$ entspricht. Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt also: $A = f(...) \cdot h = I_a(x+h) - I_a(x)$. Das gilt unter der Voraussetzung, dass die Randfunktion $f$ keine Sprungstellen hat.
Überlegung 5:
Wenn man den Quotienten $\displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}}$ bildet, dann erhält man die Höhe des Rechtecks bzw. den Funktionswert $f(...)$ an einer Stelle aus dem Intervall von $x$ bis $x+h$. Blende zur Verdeutlichung $\displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}}$ im unteren Fenster ein.
Überlegung 6:
Für $h \rightarrow 0$ wandert der Punkt zur Stelle $x+h$ auf den Punkt zur Stelle $x$ zu. Wenn die Randfunktion $f$ keine Sprungstellen hat, dann nähert sich für $h \rightarrow 0$ auch die Höhe des Rechtecks (die dem Quotienten $\displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}}$ entspricht) immer mehr dem Funktionswert $f(x)$ an. Das heißt:
$\begin{array}{ccl} \displaystyle{\frac{I_a(x+h) - I_a(x)}{h}} & \\ \downarrow & h \rightarrow 0 \\ f(x) & \end{array}$
Überlegung 7:
Es gilt also: $I_a'(x) = f(x)$.
