Lösungen zu Übungen – Normalverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung
Aufgabe 1
Im Applet wird das Histogramm zu den relativen Klassenhäufigkeiten bei einer Datenerhebung angezeigt. Das bei der Datenerhebung beobachtete Merkmal wird mit der Zufallsgröße $X$ erfasst.
Zum Herunterladen: HistogrammDaten1.ggb
(a) Erläutere, warum man die Häufigkeitsverteilung mit einer Normalverteilung modellieren kann.
(b) F. behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ genau den Mittelwert der Daten annimmt, $34 \%$ beträgt. Beurteile diese Aussage. Gib ggf. einen besseren Wahrscheinlichkeitswert an.
(c) Wie kann man die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass $X$ einen Wert zwischen $25.5$ und $42.5$ annimmt? Erläutere das Vorgehen und bestimme die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
(a) Das Histogramm zu den relativen Klassenhäufigkeiten hat annähernd die eine symmetrische Glochenform.
(b) Die Behauptung von F. zeigt, dass F. die Informationen im vorgegebenen Histogramm falsch gedeutet hat. Die Angabe $0.34$ bezieht sich auf das gesamte dargestellte Intervall. Bei einem Einzelwert wie dem Mittelwert geht man immer von der Wahrscheinlichkeit $P(X = x) = 0$ aus.
(c) Das Histogramm wird mit einer Gauß-Funktion angenähert. Da der Mittelwert und die Standardabweichung der Daten angezeigt werden, ist es sinnvoll, diese Werte (ggf. gerundet) als Parameter der Gauß-Funktion zu übernehmen. Mit der Gauß-Funktion $\varphi_{34.9;12.4}$ lässt sich jetzt die gesuchte Wahrscheinlichkeit abschätzen. Im Applet gibt man die Intervallgrenzen $a = 25.5$ und $b = 42.5$ ein. Man erhält folgendes Ergebnis:
$P(25.5 \lt X \lt 42.5) = \int\limits_{25.5}^{42.5} \varphi_{34.9;12.4}(t) \; dt \approx 0.51$
Aufgabe 2
In einem Test kann man maximal $100$ Punkte (und minimal $0$ Punkte) erzielen. Der Test wurde von $150$ Personen durchgeführt. Die Auswerter des Tests geben bekannt:
Die Testergebnisse können wir mit einer Normalverteilung mit den Parametern $\mu = 72$ und $\sigma = 10$ mathematisch modellieren.
Zum Herunterladen: HistogrammModell1.ggb
(a) Der Test gilt als bestanden, wenn man mindestens $60$ Punkte erzielt. Schätze mit der Normalverteilung ab, wie viele Personen in etwa den Test bestanden haben.
(b) Die Gauß-Funktion zur betrachteten Normalverteilung verläuft auch jenseits der Maximalpunktzahl $100$ oberhalb der $x$-Achse. Erläutere, warum das problematisch ist. Nimm Stellung zu folgenden Aussagen:
- A: Das gewählte Modell ist falsch.
- B: Das gewählte Modell ist ungeeignet.
(c) Entwickle ein Histogramm mit der Klassenbreite $10$ zu einem möglichen Testergebnis, das sich mit der vorgegebenen Normalverteilung approximieren lässt.
(a)
Mit $a = 60$ und $b = 100$ erhält man $P(60 \le X \le 100) \approx 0.88$. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt dabei das Testergebnis. Wenn die Normalverteilung die Testergebnisse gut approximiert, dann kann man davon ausgehen, dass ca. $88\%$ der $150$ Personen den Test bestanden haben, also etwa $132$ Personen.
(b)
Bei der realen Testausführung kann man nicht mehr als $100$ Punkte erzielen. Mit der Gauß-Funktion zur betrachteten Normalverteilung erhält man jedoch für ein Intervall wie z.B. $101 \le X \le 120$ einen (wenn auch sehr kleinen) positiven Wert. Hier spiegelt das Modell die Realität nicht gut wider.
Zu den Aussagen:
- A: Ein Modell ist nie richtig oder falsch. Es kann nur mehr oder weniger geeignet sein, um die Realität mathematisch zu beschreiben.
- B: Das gewählte Normalverteilungsmodell kann durchaus geeignet sein, um die Testergebnisse vereinfachend zu beschreiben.
(c)
Mit Hilfe des Applets kann man für jedes Intervall mit der Klassenbreite $10$ die Wahrscheinlichkeit abschätzen; z.B. $P(60 \lt X \le 70) \approx 0.31$. Die so berechneten Wahrscheinlichkeitswerte nimmt man als Schätzwerte für die relativen Klassenhäufigkeiten. Wenn man das Histogramm mit den relativen Klassenhäufigkeiten zeichnet, dann muss man beachten, dass die Skalierung der $y$-Achse passt. Für eine Klassenbreite $10$ werden die Histogrammbalken so gezeichnet, dass ihre Höhe $1/10$ der relativen Klassenhäufigkeit beträgt. Im folgenden Applet wird das so gebildete Histogramm angezeigt.
Zum Herunterladen: HistogrammModell1Loesung.ggb
Aufgabe 3
Im folgenden Applet kannst du Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche normalverteilte Zufallsgrößen experimentell bestimmen.
Zum Herunterladen: HistogrammModell2.ggb
(a) Untersuche experimentell für unterschiedliche Einstellungen der Parameter $\mu$ und $\sigma$, wie groß die Wahrscheilichkeit $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma)$ ist. Beschreibe, was du feststellst.
(b) Bestimme experimentell $k$ so, dass $P(\mu-k\cdot\sigma \le X \le \mu+ k\cdot\sigma) \approx 0.9 = 90\%$ gilt (für beliebige Parameter $\mu$ und $\sigma$).
(c) Bestimme experimentell $k$ so, dass $P(\mu-k\cdot\sigma \le X \le \mu+ k\cdot\sigma) \approx 0.95 = 95\%$ gilt (für beliebige Parameter $\mu$ und $\sigma$).
(d) Warum ist das so, dass man für beliebige Parameter $\mu$ und $\sigma$ immer dieselbe Wahrscheinlichkeit $P(\mu-k\cdot\sigma \le X \le \mu+ k\cdot\sigma) \approx 0.95 = 95\%$ erhält? Begründe mit der Transformation der Gauß-Funktion.
(a)
Für beliebige Parameter $\mu$ und $\sigma$ erhält man immer dasselbe Ergebnis: $P(\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma) \approx 0.68$
(b)
Für $k = 1.64$ erhält man: $P(\mu-k\cdot\sigma \le X \le \mu+ k\cdot\sigma) \approx 0.9 = 90\%$
(c)
Für $k = 1.96$ erhält man: $P(\mu-k\cdot\sigma \le X \le \mu+ k\cdot\sigma) \approx 0.95 = 95\%$
(d)
Die Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ erhält man aus der Basis-Gauß-Funktion $\varphi_{0;1}$, indem man den Graph um $\mu$ nach rechts verschiebt und anschließend mit $\sigma$ in $x$-Richtung streckt und in $y$-Richtung staucht. Bei diesem Transformationsprozess verändert man den Flächeninhalt unterhalb des Graphen in einen $k\cdot\sigma$-Intervall um $\mu$ nicht. Alle Gauß-Funktionen $\varphi_{\mu;\sigma}$ liefern somit gleiche Wahrscheinlichkeiten für $k\cdot\sigma$-Intervall um $\mu$.
Aufgabe 4
Betrachte folgende Situation:
- Die Zufallsgröße $X$ ist normalverteilt mit den Parametern $\mu = 100$ und $\sigma = 10$.
- Die Zufallsgröße $Y$ ist normalverteilt mit den Parametern $\mu = 100$ und $\sigma = 15$.
Kannst du folgende Fragen direkt klären:
- Bei welcher der beiden Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass der Wert zwischen $90$ und $110$ liegt?
- Bei welcher der beiden Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass der Wert über $115$ liegt?
- Bei welcher der beiden Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass der Wert genau bei $100$ liegt?
Mit dem folgenden Applet kannst du deine Ergebnisse überprüfen und begründen.
Zum Herunterladen: HistogrammModell3.ggb
- Bei welcher der beiden Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass der Wert zwischen $90$ und $110$ liegt?
$X$, da die Streuung kleiner ist. - Bei welcher der beiden Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass der Wert über $115$ liegt?
$Y$, da die Streuung größer ist. - Bei welcher der beiden Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit größer, dass der Wert genau bei $100$ liegt?
Keine, da man für beide Zufallsgrößen die Wahrscheinlichkeit $0$ erhält.
