Anwendung - Corona-Test
Einstieg - Eine Testsituation betrachten
Sicher erinnerst du dich noch an die vielen Tests während der Corona-Pandemie. Solche Test sollen möglichst zuverlässig sein. Auf der Seite COVID 19 der Firma Roche gibt es für ihren Test folgende Informationen:
- Sensitivität von 96.52 %: Die Sensitivität des Tests gibt an, wieviel Prozent der Personen, die an einer SARS-CoV-2 Infektion erkrankt sind, ein positives Testresultat erhalten.
- Spezifität von 99.68 % : Die Spezifität gibt an, wieviel Prozent der Personen, die nicht an einer SARS-CoV-2 Infektion erkrankt sind, ein negatives Testresultat erhalten.
Zur Einschätzung einer konkreten Situation werden noch die Information über den aktuellen Krankenstand benötigt. Wir gehen hier von folgendem Wert aus:
- Prävalenz (von z.B. 2 %): Anteil der Bevölkerung, die aktuell eine SARS-CoV-2 Infektion haben
Erarbeitung - Die Testsituation mathematisch beschreiben
Für die weitere Arbeit führen wir Bezeichnungen für die uns hier interessierenden Ereignisse ein. Dabei gehen wir davon aus, dass eine getestete Person aus der betrachteten Bevölkerung zufällig ausgewählt wird und ihr Gesundheitszustand und ihr Testergebnis beobachtet werden.
- $B$: Die zufällig gewählte Person ist aktuell erkrankt.
- $\overlinepatch{B}$: Die zufällig gewählte Person ist aktuell nicht erkrankt.
- $A$: Der Test liefert ein positives Testresultat.
- $\overlinepatch{A}$: Der Test liefert ein negatives Testresultat.
Aufgabe 1
Ordne den folgenden Vorgaben die passend ergänzten Wahrscheinlichkeiten zu.: $P(B) = ...$, $P(A|B) = ...$, $P(\overlinepatch{A}|\overlinepatch{B}) = ...$.
- Sensitivität von 96.52 %:
- Spezifität von 99.68 %:
- Prävalenz von 2 %:
Aufgabe 2
(a) Ergänze jeweils die fehlende Beschreibung der Wahrscheinlichkeiten.
- $P(B|A)$: ...
- $P(B|\overlinepatch{A})$: Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist, wenn das Testresultat negativ ist
- $P(\overlinepatch{B}|A)$:
- $P(\overlinepatch{B}|\overlinepatch{A})$:
(b) Im Alltag ist oft von den Fällen "falsch positiv" bzw "falsch negativ" die Rede. Welche der aufgelisteten Wahrscheinlichkeiten passen zu diesen Fällen? Charakterisiere analog auch die restlichen Fälle.
Aufgabe 3
Bestimme die in Aufgabe 2 aufgelisteten Wahrscheinlichkeiten. Wenn du Hilfe benögst, dann nutze eine der beiden folgenden GeoGebra-Applets.
Applet zur Auswertung einer Testsituation - Version mit Häufigkeiten
Zum Herunterladen: sarstest_haeufigkeiten.ggb
Hinweise zur Bedienung:
- Gib zunächst in den passenden Eingabefeldern die hier betrachteten Wahrscheinlichkeiten ein.
- Gib anschließend im Eingabefeld für $n$ eine vorgegebene Anzahl von Personen ein - z.B. $1000000$ (es wird dann durchgespielt, dass eine Million Personen den Test durchführen).
- Berechne anschließend die fehlenden absoluten Häufigkeiten (erkennbar an $H(...)$) und die fehlenden relativen Häufigkeiten (erkennbar an $h(...))$.
- Kontrolliere abschließend deine Ergebnisse, indem du die Lösungen einblendest.
Applet zur Auswertung einer Testsituation - Version mit Wahrscheinlichkeiten
Zum Herunterladen: sarstest_wahrscheinlichkeiten.ggb
Hinweise zur Bedienung:
- Gib zunächst in den passenden Eingabefeldern die hier betrachteten Wahrscheinlichkeiten ein.
- Berechne anschließend die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.
- Kontrolliere abschließend deine Ergebnisse, indem du die Lösungen einblendest.
Vertiefung - Tests bewerten
Für die Bewertung von Tests ist es interessant, die Wahrscheinlichkeiten für die Fälle "falsch positiv" und "falsch negativ" in Abhängigkeit der vorgegebenen Daten zu betrachten.
Aufgabe 3
Benutze das folgende Applet, um Abhängigkeiten zwischen den berechneten Wahrscheinlichkeiten und den vorgegebenen Daten zu erkunden. Formuliere deine Ergebnisse, z.B. so:
Wenn die Prävalenz ..., dann ....
Applet zur Erkundung von Testsituationen
Zum Herunterladen: sarstest_variation_praevalenz.ggb
Hinweise zur Bedienung:
- Lege zunächst die Sensitivität und die Spezifität des Tests fest.
- Variiere die Prävalenz und beobachte, wie sich dies auf die Nachher-Wahrscheinlichkeiten auswirkt.
