Strukturierung – Bedingte Wahrscheinlichkeit
- die Betrachtungen zu einer Befragung verallgemeinern
- das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit einführen
Einstieg - Von relativen Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten
Wir gehen hier von einer Befragung zu zwei Merkmalen aus und betrachten sie als Zufallsexperiment:
Zufallsexperiment: Eine (beliebig ausgewählte) Person befragen und dabei die Antworten auf zwei Merkmale beobachten:
- Merkmal 1 erfüllt? (ja / nein)
- Merkmal 2 erfüllt? (ja / nein)
Zur Beschreibung der Ergebnisse der Befragung benutzen wir die folgenden Ereignisse:
- $A$: Merkmal 1 erfüllt? ja
- $\overlinepatch{A}$: Merkmal 1 erfüllt? nein
- $B$: Merkmal 2 erfüllt? ja
- $\overlinepatch{B}$: Merkmal 2 erfüllt? nein
Die relativen Häufigkeiten zur Befragung werden als Wahrscheinlichkeiten gedeutet. Das kannst du dir im folgenden Applet anschauen.
Hinweise zur Bedienung
- Mit dem Schalter in der linken oberen Ecke des unteren Fensters lassen sich jetzt wahlweise absolute Häufigkeiten oder relative Häufigkeiten oder die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten einblenden.
- Nach wie vor wird im unteren Fenster eine Vierfeldertafel angezeigt. Im oberen Fenster werden die Daten mit einem Einheitsquadrat veranschaulicht.
Zum Herunterladen: vierfeldertafel_haeufigkeiten_wahrscheinlichkeiten.ggb
Aufgabe 1
Im Applet wird die Schreibweise $P(A|B)$ für eine bedingte Wahrscheinlichkeit benutzt. Ergänze die Deutung dieser Schreibweise. Orientiere dich an der Deutung von $h(A|B)$.
$P(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, ...
Aufgabe 2
Gib eine Formel zu Bestimmung von $P(A|B)$ an. Orientiere dich an den Formeln zur Berechnung von $h(A|B)$. Überprüfe die Formel mit dem Applet.
$P(A|B) = \displaystyle{\frac{\dots}{\dots}}$
Erarbeitung - Bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm darstellen
Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich gut in einem Baumdiagramm verdeutlichen.
Aufgabe 3
Wir benutzen hier die voreingestellten Daten im Applet.
Die Ereignisse $A$ und $B$ sind bereits als Knoten im Baumdiagramm vorgegeben. Der Baum legt eine Abhängigkeit fest: Wenn $B$ (bzw. $\overlinepatch{B}$) eintritt, dann betrachte $A$ (bzw. $\overlinepatch{A}$).
Trage die folgenden Wahrscheinlichkeiten an die passenden Stellen im Baumdiagramm ein.
- $P(B) = 0.75$
- $P(\overlinepatch{B}) = 0.25$
- $P(A|B) \approx 0.333$
- $P(\overlinepatch{A}|B) \approx 0.667$
- $P(A|\overlinepatch{B}) = 0.2$
- $P(\overlinepatch{A}|\overlinepatch{B}) = 0.8$
- $P(B \cap A) = 0.25$
- $P(B \cap \overlinepatch{A}) = 0.5$
- $P(\overlinepatch{B} \cap A) = 0.05$
- $P(\overlinepatch{B} \cap \overlinepatch{A}) = 0.2$
Nutze das folgende Applet zur Kontrolle.
Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
Zum Herunterladen: vierfeldertafel_baumdiagramm_haeufigkeiten_wahrscheinlichkeiten.ggb
Vertiefung - Eine Pfadregel mit bedingten Wahrscheinlichkeiten entwickeln
Betrachte die Verdeutlichung bedingter Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm im vorangehenden Applet.
Aufgabe 4
Untersuche folgende Frage: Wie lässt sich $P(A \cap B)$ aus den Wahrscheinlichkeiten $P(B)$ und $P(A | B)$ bestimmen?
Tipp
Untersuche, ob die Pfadregel für mehrstufige Zufallsexperimente in analoger Form auch hier gilt.
Sicherung der Erkenntnisse
Hier werden alle gewonnenen Erkenntnisse strukturiert gesichert. Ergänze die fehlenden Stellen.
Unter der bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{B}(A)$ versteht man die Wahrscheinlichkeit von ... unter der Bedingung ... . Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird wie folgt festgelegt:
$P(A | B) = \displaystyle{\frac{...}{...}}$
Dabei wird vorausgesetzt, dass $... > 0$ gilt.
