Strukturierung – Bedingte Wahrscheinlichkeit

Einstieg – Von relativen Häufigkeiten zu Wahrscheinlichkeiten

Wir gehen hier von einer Befragung zu zwei Merkmalen aus und betrachten sie als Zufallsexperiment:

Zur Beschreibung der Ergebnisse der Befragung benutzen wir die folgenden Ereignisse:

• $A$: Merkmal 1 erfüllt? ja
• $\stackrel{\phantom{A}}{A}$: Merkmal 1 erfüllt? nein
• $B$: Merkmal 2 erfüllt? ja
• $\stackrel{\phantom{B}}{B}$: Merkmal 2 erfüllt? nein

Die relativen Häufigkeiten zur Befragung werden als Wahrscheinlichkeiten gedeutet. Das kannst du dir im folgenden Applet anschauen.

Zum Herunterladen: vierfeldertafel_haeufigkeiten_wahrscheinlichkeiten.ggb

Aufgabe 1

Im Applet wird die Schreibweise $P(A|B)$ für eine bedingte Wahrscheinlichkeit benutzt. Ergänze die Deutung dieser Schreibweise. Orientiere dich an der Deutung von $h(A|B)$.

Aufgabe 2

Gib eine Formel zu Bestimmung von $P(A|B)$ an. Orientiere dich an den Formeln zur Berechnung von $h(A|B)$. Überprüfe die Formel mit dem Applet.

Erarbeitung – Bedingte Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm darstellen

Bedingte Wahrscheinlichkeiten lassen sich gut in einem Baumdiagramm verdeutlichen.

Aufgabe 3

Wir benutzen hier die voreingestellten Daten im Applet.

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind bereits als Knoten im Baumdiagramm vorgegeben. Der Baum legt eine Abhängigkeit fest: Wenn $B$ (bzw. $\stackrel{\phantom{B}}{B}$) eintritt, dann betrachte $A$ (bzw. $\stackrel{\phantom{A}}{A}$).

Trage die folgenden Wahrscheinlichkeiten an die passenden Stellen im Baumdiagramm ein.

• $P(B)=0.75$
• $P(\stackrel{\phantom{B}}{B})=0.25$
• $P(A|B)\approx 0.333$
• $P(\stackrel{\phantom{A}}{A}|B)\approx 0.667$
• $P(A|\stackrel{\phantom{B}}{B})=0.2$
• $P(\stackrel{\phantom{A}}{A}|\stackrel{\phantom{B}}{B})=0.8$
• $P(B\cap A)=0.25$
• $P(B\cap \stackrel{\phantom{A}}{A})=0.5$
• $P(\stackrel{\phantom{B}}{B}\cap A)=0.05$
• $P(\stackrel{\phantom{B}}{B}\cap \stackrel{\phantom{A}}{A})=0.2$

Nutze das folgende Applet zur Kontrolle; stelle dafür den Schieberegler im unteren Fenster ganz nach rechts und blende den Baum ein.

Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm

Zum Herunterladen: vierfeldertafel_baumdiagramm_haeufigkeiten_wahrscheinlichkeiten.ggb

Vertiefung – Eine Pfadregel mit bedingten Wahrscheinlichkeiten entwickeln

Betrachte die Verdeutlichung bedingter Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm im vorangehenden Applet.

Aufgabe 4

Untersuche folgende Frage: Wie lässt sich $P(A\cap B)$ aus den Wahrscheinlichkeiten $P(B)$ und $P(A|B)$ bestimmen?

Sicherung der Erkenntnisse

Hier werden alle gewonnenen Erkenntnisse strukturiert gesichert.

Aufgabe 5

🖊️ Ergänze die fehlenden Stellen der folgenden Definition und übernimm sie ins Glossar.