Strukturierung – Satz von Bayes
Die Überlegungen zum Münzwurfbeispiel verallgemeinern
Ziel ist es, die Überlegungen im Münzwurfbeispiel zur Berechnung der jeweils neuen Wahrscheinlichkeiten zu verallgemeinern.
| Vorher- Wahrscheinlichkeit |
Münzwurfergebnis (Indiz-Ereignis) |
Nachher- Wahrscheinlichkeit |
|
|---|---|---|---|
| fair | $\frac{2}{3}$ | Zahl | $\frac{4}{5}$ |
| unfair | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{5}$ |
Aufgabe 1 – Einstieg
Ergänze die Beschreibung der gegebenen und gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
- Ereignis $B$: Münze ist fair
- Ereignis $\overlinepatch{B}$: Münze ist unfair
- Ereignis $A$: Münze zeigt Kopf
- Ereignis $\overlinepatch{A}$: Münze zeigt Zahl
- $P(B)$: Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Münze ... ist.
- $P(\overlinepatch{B})$: Wahrscheinlichkeit, dass ...
- $P(A | B)$: Wahrscheinlichkeit, dass ...
- $P(A | \overlinepatch{B})$: Wahrscheinlichkeit, dass ...
- $P(B | A)$: Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Münze ... ist, wenn ... geworfen wurde.
- $P(B | \overlinepatch{A})$: Wahrscheinlichkeit, dass ...
Aufgabe 2 – Erarbeitung
Im folgenden Applet sind die Berechnungen am Beispiel vorgegeben. Sie sollen jetzt mit Hilfe von Formeln allgemein beschrieben werden. Hierzu sollen die Formelbausteine an die passenden Stellen verschoben werden.
Zum Herunterladen: bayes_herleitung.ggb
(a) Platziere die blauen Bausteine an die passenden Stellen. Wofür könnte die Farbe blau hier stehen?
(b) Vervollständige das linke Baumdiagramm.
(c) Ergänze nach und nach die Bausteine im rechten Baumdiagramm – und zwar genau in der Reihenfolge, wie mit den konkreten Zahlen gerechnet wird. Wofür könnte die Farbe rot stehen?
(d) 🖊️ Übertrage deine Ergebnisse in den oberen Teil des Wissensspeichers.
Aufgabe 3 – Vertiefung
🖊️ Entwickle eine Formel für die Nachher-Wahrscheinlichkeit $P(B | A)$ und halte die Herleitung auf dem Wissensspeicher fest.
Tipp: Nutze die (korrekt platzierten) Formelbausteine aus Aufgabe 2. Auf der rechten Seite der Formel sollen am Ende der Herleitung nur noch die blau dargestellten Vorher-Wahrscheinlichkeiten vorkommen.
$\begin{array}{lcl} \textcolor[rgb]{1,0.2,0.4}{P(B | A)} & = & \displaystyle{\frac{P(A \cap B)}{P(A)}} \\ & = & \dots \\ & = & \dots \\ & = & \dots \end{array}$
Aufgabe 4 – Sicherung
Die hergeleitete Formel gilt allgemein – nicht nur zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten im Münzwurfbeispiel.
(a) Ergänze sie im folgenden Satz von Bayes (benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes, der sie 1763 erstmals veröffentlichte).
Satz von Bayes:
Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(A) > 0$ und $P(B) > 0$ kann die Nachher-Wahrscheinlichkeit $P(B | A)$ aus den Vorher-Wahrscheinlichkeiten $P(B)$, $P(\overlinepatch{B})$, $P(A | B)$ und $P(A | \overlinepatch{B})$ wie folgt berechnet werden:
$P(B | A) = \dots$
(b) 🖊️ Notiere dir die Formel im Wissensspeicher und halte kurz im Glossar fest, wozu der Satz von Bayes verwendet wird.
Kontrolle
Situation: Es findet ein Zufallsexperiment statt, das man sich als zweistufig vorstellen kann. Eine Reihenfolge ist dabei naheliegend (Münze wählen, dann werfen); die andere interessiert uns aber (Münze geworfen; welche war es?).
Vorher-Wahrscheinlichkeiten: Es sind die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis $B$ und die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(A | B)$ und $P(A | \overlinepatch{B})$ bekannt.
Indiz-Ereignis: Das Ereignis $A$ ist für uns beobachtbar.
Nachher-Wahrscheinlichkeiten: Nach dem Eintreten von $A$ oder $\overlinepatch{A}$ ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit für $B$ gesucht: $P(B|A)$ und $P(B | \overlinepatch{A})$.
Satz von Bayes: Der Satz liefert eine Formel für die Nachher-Wahrscheinlichkeit, solange die Vorher-Wahrscheinlichkeiten größer als 0 sind: $P(B | A) = \displaystyle{\frac{P(B) \cdot P(A | B)}{P(B) \cdot P(A | B) + P(\overlinepatch{B}) \cdot P(A | \overlinepatch{B})}}$
