Erarbeitung – Beurteilung nach einem Wurf
Zur Orientierung
Betrachte weiterhin folgende Situation: Vor dir liegen drei Münzen. Zwei Münzen sind fair, sie zeigen also mit gleicher Wahrscheinlichkeit Kopf ($\Omega$) und Zahl ($1$). Eine Münze ist unfair und zeigt nur mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ die Zahl. Die Münzen sind äußerlich nicht voneinander zu unterscheiden.
Du wählst dir (zufällig) eine der Münzen aus. Ohne weitere Experimente kannst du die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Münze fair ist, nur anhand der Anzahl fairer und unfairer Münzen beurteilen. Bei $2$ fairen und $1$ unfairen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ dann $\frac{2}{3}$. Wenn du die Münze nun (ein oder mehrmals) werfen darfst, ändert sich das Wissen über die Münzen. Mit den gewonnenen Erfahrungswerten kannst du dann die neue Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ schrittweise berechnen. Wir betrachten hier zunächst den Fall, dass die Münze genau einmal geworfen wird.
Leitfrage
Wie kann aus einem Wurfergebnis die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass die gezogene Münze fair ist?
Eine Formel herleiten
Das folgende Applet hilft dir bei der Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit.
Zum Herunterladen: bayes_beispiel.ggb
Aufgabe 1: Am Beispiel
(a) Beginne mit dem linken Baumdiagramm. Trage die bekannten Wahrscheinlichkeiten in die Eingabefelder an den korrekten Stellen ein.
- Zwei Münzen sind fair, sie zeigen also mit gleicher Wahrscheinlichkeit Kopf und Zahl.
- Eine Münze ist unfair und zeigt nur mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ die Zahl.
- Eine Münze wird (zufällig) ausgewählt.
Vervollständige das linke Baumdiagramm. Benutze die Pfadregel.
(b) Betrachte jetzt das rechte Baumdiagramm. Die Werte ganz rechts für z. B. „Kopf und fair“ kannst du aus dem linken Baumdiagramm übernehmen. Die Werte für „Kopf“ und „Zahl“ in diesem Baumdiagramm kannst du aus den passenden Werten im linken Baumdiagramm bestimmen. Die noch fehlenden Werte kannst du wieder mit der Pfadregel bestimmen.
(c) Deute die Ergebnisse. Beantworte hierzu folgende Fragen:
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ unter der Bedingung, dass „Kopf“ geworfen wurde?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ unter der Bedingung, dass „Zahl“ geworfen wurde?
Kontrolle
Zum Herunterladen: bayes_beispiel_mit_loesung.ggb
- Die Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ unter der Bedingung, dass „Kopf“ geworfen wurde, beträgt $\frac{4}{7}$.
- Die Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ unter der Bedingung, dass „Zahl“ geworfen wurde, beträgt $\frac{4}{5}$.
Diese Wahrscheinlichkeiten sind plausibel. Wenn „Zahl“ geworfen wurde, dann spricht das eher für eine faire Münze.
Aufgabe 2: Dokumentierung der Berechnungsschritte
Dokumentiere, wie du bei den Berechnungen vorgegangen bist.
$P(\text{fair} \cap \text{Kopf}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
...
Schritt 2:$P(\text{Kopf} \cap \text{fair}) = \frac{1}{3}$
...
Schritt 3:$P(\text{Kopf}) = \dots$
...
Schritt 4:$P(\text{fair} | \text{Kopf}) = \dots$
...
