Vertiefung – Beurteilung nach mehreren Würfen
Zur Orientierung
Bisher haben wir uns nur auf Erfahrungswerte aus einem einzigen Münzwurf beschränkt. Wir können das bisherige Vorgehen aber auch benutzen, um aus mehreren Würfen zu lernen. Dazu müssen wir nur die Ausgangswerte passend wählen.
Leitfrage
Wie kann bei mehreren Wurfergebnissen die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass die gezogene Münze fair ist?
Das Verfahren verallgemeinern
Hier die Berechnungen zum 1. Münzwurf:
Zum Herunterladen: bayes_beispiel_mit_loesung.ggb
Betrachten wir den Fall, dass beim 1. Münzwurf die Zahl gefallen ist, dann können wir das Wissen vor und nach diesem Münzwurf folgendermaßen beschreiben:
| Vorher- Wahrscheinlichkeit |
Münzwurfergebnis (Indiz-Ereignis) |
Nachher- Wahrscheinlichkeit |
|
|---|---|---|---|
| fair | $\frac{2}{3}$ | Zahl | $\frac{4}{5}$ |
| unfair | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{5}$ |
Entsprechend sieht die Beschreibung des Falls aus, wenn beim 1. Münzwurf Kopf gefallen ist.
Die Wahrscheinlichkeitswerte nach dem 1. Münzwurf können wir jetzt als Ausgangswerte für den 2. Münzwurf nehmen. Wir betrachten hierzu exemplarisch diese Situation: Die Münze ist bereits einmal geworfen worden mit dem Ergebnis „Zahl“. Sie wird erneut geworfen und wieder fällt die Zahl.
| Vorher- Wahrscheinlichkeit |
Münzwurfergebnis (Indiz-Ereignis) |
Nachher- Wahrscheinlichkeit |
|
|---|---|---|---|
| fair | $\frac{4}{5}$ | Zahl | |
| unfair | $\frac{1}{5}$ |
Aufgabe 1
Trage im Applet die neuen Ausgangswerte ein und vervollständige mit ihnen die Baumdiagramme. Ergänze in der Tabelle oben die noch offenen Wahrscheinlichkeiten für „fair“ und „unfair“ nach dem 2. Münzwurf (bei dem wieder die Zahl gefallen ist).
Zum Herunterladen: bayes_beispiel.ggb
Das Verfahren wiederholt anwenden
Das Verfahren kann mit neuen Ausgangswerten immer wiederholt werden. Dies kannst du mit dem folgenden Applet durchspielen:
Anleitung für das Applet
- In einem ersten Schritt musst du mit der Schaltfläche [Münze ziehen] eine der drei gegebenen Münzen auswählen. Ob sie fair oder unfair ist, bleibt natürlich erst einmal geheim.
- Mit der Schaltfläche [Münze werfen] kannst du die gezogene Münze wiederholt (hier maximal 5-mal) werfen.
- Im Grafikfeld unterhalb der gezeigten Münzwurfergebnisse kannst du mit dem blauen Punkt die Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ nach und nach einstellen.
- Abschließend kannst du eine Vermutung aufstellen, ob die gezogene Münze fair oder unfair war. Hierfür musst du nur die entsprechende Schaltfläche anklicken. Ob die Vermutung zutrifft, wird danach angezeigt.
- Zusätzlich kannst du die Entwicklung der Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ einblenden und mit deinen Einstellungen abgleichen.
Zum Herunterladen: muenzspiel_mit_kontrolle.ggb
Aufgabe 2
Führe einen kompletten Durchlauf des Münzwurfexperiments durch. Ziehe zunächst eine Münze und stelle die passende Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ ein.
Aktiviere dann Schritt für Schritt die Schaltfläche [Münze werfen] und berechne für das jeweilige Ergebnis (Kopf bzw. Zahl) die neue Wahrscheinlichkeit für
„Münze ist fair“ mit dem oben beschriebenen Verfahren.
Stelle unten im Applet immer die berechneten Werte (gerundet auf zwei Nachkommastellen) ein.
Dokumentiere deine Berechnungsergebnisse in der Tabelle. Aktiviere im Applet das Kontrollkästchen, um deine
berechneten Wahrscheinlichkeiten zu überprüfen.
| Ergebnis des Münzwurfs | Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ |
|---|---|
| vor dem 1. Wurf | $\frac{2}{3}$ |
| 1. Wurf: Zahl | $\frac{4}{5}$ |
| 2. Wurf: ... | |
| 3. Wurf: ... | |
| 4. Wurf: ... | |
| 5. Wurf: ... |
Das Verfahren automatisieren
Die Berechnungen lassen sich mit geeigneten Formeln für die betrachtete Nachher-Wahrscheinlichkeit automatisieren.
Aufgabe 3: Für Experten
(a) Leite folgende Formeln für die Nachher-Wahrscheinlichkeiten nach dem 1. Münzwurf her.
$P(\text{fair} | \text{Kopf}) = \displaystyle{\frac{\frac{2}{3}\cdot 0.5}{\frac{2}{3}\cdot 0.5 + \frac{1}{3}\cdot 0.75}}$
$P(\text{unfair} | \text{Kopf}) = \displaystyle{\frac{\frac{1}{3}\cdot 0.75}{\frac{1}{3}\cdot 0.75 + \frac{2}{3}\cdot 0.5}}$
(b) Es ist auch möglich eine Formel für „faire Münze“ unter der Bedingung, dass $m$-mal Kopf und $n$-mal Zahl geworfen wurde, herzuleiten ($m$ und $n$ sind hier Variablen). Diese Formel wird im folgenden Applet angezeigt:
Zum Herunterladen: muenzspiel_mit_rechnung-loesung.ggb
(b1) Überprüfe die Formel mit deinen Ergebnissen aus Aufgabe 2.
(b2) (sehr schwer) Leite auch diese Formel her.
