Übungen - Bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1

In der HBSC-Studie (HBSC steht für Health Behaviour in School-aged Children) geht es um die Gesundheit und um gesundheitsbezogene Wahrnehmungen, Einstellungen und Verhaltensweisen von Kindern und Jugendlichen. Hier werden Erhebungen zu zahlreichen gesundheitsrelevanten Fragestellungen bei 11-, 13- und 15-Jährigen durchgeführt. Wir betrachten hier einige Daten aus den Jahren 2017/18 zur Situation in Deutschland. Die Daten findest du im Faktenblatt - Tabakkonsum.

Hinweis: Bei den Befragungen der HBSC-Studie wird immer das Geschlecht berücksichtigt. Alle gesundheitsbezogenen Faktoren werden also geschlechtsspezifisch untersucht. Bis zur Studie aus dem Jahr 2017/18 wurde dabei immer eine Unterteilung in "männlich" und "weiblich" vorgenommen. In künftigen Studien soll auch die Ausprägung "divers" berücksichtigt werden. Wir beziehen uns im Folgenden auf die Daten aus der Studie 2017/18 und können daher immer nur die Unterteilung in männlich und weiblich verwenden.

In der Studie wurden u. a. Daten zum Rauchen erhoben:

Gehe von den Daten in der folgenden Vierfeldertafel aus:

	männlich	weiblich	Summe
ja	302 (6.9%)	328 (...)	... (...)
nein	1739 (...)	1978 (...)	... (...)
Summe	... (...)	... (...)	... (...)

(a) Ergänze zunächst die absoluten Häufigkeiten in der Summenspalte bzw. Summenzeile der Vierfeldertafel. Bestimme dann auch die relativen Häufigkeiten bezogen auf die Gesamtanzahl der befragten Personen.

(b) Kläre folgende Fragen. Dokumentiere die hierzu durchgeführten Berechnungen.

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(N)$, dass eine zufällig gewählte Person N(ichtraucher/in) ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(W)$, dass eine zufällig gewählte Person W(eiblich) ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(W \cap N)$, dass eine zufällig gewählte Person W(eiblich) und N(ichtraucher/in) ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(R|W)$, dass eine zufällig gewählte Person R(aucher/in) ist, wenn die Person W(eiblich) ist?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $P(R|M)$, dass eine zufällig gewählte Person R(aucher/in) ist, wenn die Person M(ännlich) ist?

Aufgabe 2

In der HBSC-Studie aus dem Jahr 2017/18 wurden auch die sportlichen Aktivitäten von Kindern und Jugendlichen untersucht (siehe Faktenblätterübersicht). Es wurden Daten zu folgenden Merkmalen gesammelt:

Hier einige Daten aus der Studie:

• $n = 4347$: Es wurden $4347$ Personen befragt.
• $P(W) \approx 0.53$: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte befragte Person weiblich ist, beträgt etwa $0.53$.
• $P(J|W) \approx 0.317$: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte befragte Person die Sportfrage mit "ja" beantwortet, beträgt etwa $0.317$, sofern die Person weiblich ist.
• $P(J|M) \approx 0.501$: ...

Nutze diese Daten, um die absoluten Häufigkeiten in der Vierfeldertafel zu rekonstruieren. Beachte: Es gibt einen Kontrollwert.

	männlich	weiblich	Summe
ja	...	731	...
nein	...	...	...
Summe	...	...	...

Aufgabe 3

In der Studie des LBS-Kinderbarometers aus dem Jahr 2009, die durch das Institut für Sozialforschung der PROSOZ begleitet wurde, wurden die verschieden Arten von Haustieren von Kindern aus Nordrhein-Westfalen untersucht (siehe Befundsübersicht). Es wurden Daten zu folgenden Merkmalen gesammelt:

Im Folgenden findest du die Daten aus der Studie:

• $n = 2000$: Es wurden $2000$ Kinder befragt.
• 400 Jungen besitzen kein Haustier.
• 35% der Mädchen, die ein Haustier besitzen, besitzen ein Nagetier.
• 29% der Jungen, die ein Haustier besitzen, besitzen einen Hund.
• 123 Mädchen besitzen eine Katze.

Nutze diese Daten, um die relativen Häufigkeiten in der Zwölffeldertafel zu ergänzen.

	$M$: Mädchen	$J$: Jungen	Summe
$N$: Nagetier	...	...	19.4%
$H$: Hund	8.7%	...	...
$Ka$: Katze	...	6.3%	...
$V$: Vogel	...	2.7%	...
$S$: Sonstige	3.7%	...	...
$Ke$: Keins	...	...	36%
Summe	...	50%	...

Aufgabe 4

In einer Studie des Wirtschafts- und Sozialwissenschaftlichen Instituts aus dem Jahr 2023 wurde u. a. folgende Frage untersucht:

Folgende Merkmale wurden dabei abgefragt:

Hierzu die Daten aus der Studie (siehe WSI Report 87):

	$F$: Frauen	$M$: Männer	Summe
$I$: ich	$654$	$233$	...
$B$: beide	$366$	$797$	...
$P$: Partner(in)	$27$	$178$	...
Summe	...	...	...

(a) Ergänze zunächst die fehlenden Einträge in der Sechsfeldertafel.

(b) Betrachte die Befragung als Zufallsexperiment und bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten. Berücksichtige dabei die Festlegung der Bezeichner in der Sechsfeldertafel.

Wahrscheinlichkeit	Deutung	Berechnung
$P(M \cap I)$	Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person ein Mann ist und ...	$P(M \cap I) = \displaystyle{\frac{233}{}} \approx ...$
$P(F \cap B)$	...	...
$P(B)$	...	...
$P(I|M)$	...	...
$P(I|F)$	...	...
$P(B|M)$	...	...
$P(B|F)$	...	...
$P(F|B)$	...	...

(c) Schreibe hierzu eine kurze Zusammenfassung über die Ergebnisse der Studie. Formuliere sie in Alltagssprache und führe einige der berechneten Ergebnisse als Belege auf.

Aufgabe 5

(a) Begründe: Für beliebige Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments gilt: $P(A|B) + P(\overlinepatch{A}|B) = 1$.

(b) Gilt für beliebige Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments auch diese Formel: $P(A|B) + P(A|\overlinepatch{B}) = 1$? Begründe.