Überprüfung - Satz von Bayes

Aufgabe 1

Gegeben sind zwei Urnen. In der einen befinden sich 5 violette und 5 grüne Kugeln, in der anderen 8 violette und 2 grüne Kugeln.

Die Vorher-Situation: Für dich verdeckt wird eine Urne zufällig ausgewählt. Du weißt nicht, welche Urne das ist.

Die Nachher-Situation: Aus der gewählten Urne wird eine Kugel gezogen. Du erfährst das Ergebnis der Ziehung.

Benutze für die weitere Arbeit folgende Bezeichnungen:

• $B$: Die gewählte Urne ist die mit den 5 violetten Kugeln.
• $\stackrel{\phantom{B}}{B}$: Die gewählte Urne ist die mit den 8 violetten Kugeln.
• $A$: Die gezogene Kugel ist eine violette Kugel.
• $\stackrel{\phantom{A}}{A}$: Die gezogene Kugel ist eine grüne Kugel.

(a) Liste die bekannten Vorher-Wahrscheinlichkeiten mit ihren Werten auf.

Vorher-Wahrscheinlichkeiten: $P(B)=0.4$, ...

(b) Liste die gesuchten Nachher-Wahrscheinlichkeiten auf.

Nachher-Wahrscheinlichkeiten: $P(B|A)=?$, ...

(c) Benutze geeignete Baumdiagramme, um aus den Vorher-Wahrscheinlichkeiten die Nachher-Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

(d) Benutze den Satz von Bayes, um aus den Vorher-Wahrscheinlichkeiten die Nachher-Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Kontrolle

(a) Liste die bekannten Vorher-Wahrscheinlichkeiten mit ihren Werten auf.

Vorher-Wahrscheinlichkeiten: im Applet unten die blau markierten Felder

(b) Liste die gesuchten Nachher-Wahrscheinlichkeiten auf.

Nachher-Wahrscheinlichkeiten: im Applet unten die rot markierten Felder

(c) Benutze geeignete Baumdiagramme, um aus den Vorher-Wahrscheinlichkeiten die Nachher-Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Zum Herunterladen: bayes_beispiel_A_B_Loesung.ggb

(d) Z. B.:

$P(B|A)={\displaystyle \frac{P(B)\cdot P(A|B)}{P(B)\cdot P(A|B)+P(\stackrel{\phantom{B}}{B})\cdot P(A|\stackrel{\phantom{B}}{B})}={\displaystyle \frac{0.5\cdot 0.4}{0.5\cdot 0.4+0.5\cdot 0.8}={\displaystyle \frac{0.2}{0.6}={\displaystyle \frac{1}{3}}}}}$