Überprüfung - Satz von Bayes

Aufgabe 1

Gegeben sind zwei Urnen. In der einen befinden sich 5 violette und 5 grüne Kugeln, in der anderen 8 violette und 2 grüne Kugeln.

Die Vorher-Situation: Für dich verdeckt wird eine Urne zufällig ausgewählt. Du weißt nicht, welche Urne das ist.

Die Nachher-Situation: Aus der gewählten Urne wird eine Kugel gezogen. Du erfährst das Ergebnis der Ziehung.

Benutze für die weitere Arbeit folgende Bezeichnungen:

• $B$: Die gewählte Urne ist die mit den 5 violetten Kugeln.
• $\overlinepatch{B}$: Die gewählte Urne ist die mit den 8 violetten Kugeln.
• $A$: Die gezogene Kugel ist eine violette Kugel.
• $\overlinepatch{A}$: Die gezogene Kugel ist eine grüne Kugel.

(a) Liste die bekannten Vorher-Wahrscheinlichkeiten mit ihren Werten auf.

Vorher-Wahrscheinlichkeiten: $P(B) = 0.4$, ...

(b) Liste die gesuchten Nachher-Wahrscheinlichkeiten auf.

Nachher-Wahrscheinlichkeiten: $P(B|A) = ?$, ...

(c) Benutze geeignete Baumdiagramme, um aus den Vorher-Wahrscheinlichkeiten die Nachher-Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

(d) Benutze den Satz von Bayes, um aus den Vorher-Wahrscheinlichkeiten die Nachher-Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Kontrolle

(a) Liste die bekannten Vorher-Wahrscheinlichkeiten mit ihren Werten auf.

Vorher-Wahrscheinlichkeiten: im Applet unten die blau markierten Felder

(b) Liste die gesuchten Nachher-Wahrscheinlichkeiten auf.

Nachher-Wahrscheinlichkeiten: im Applet unten die rot markierten Felder

(c) Benutze geeignete Baumdiagramme, um aus den Vorher-Wahrscheinlichkeiten die Nachher-Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Zum Herunterladen: bayes_beispiel_A_B_Loesung.ggb

(d) Z. B.:

$P(B | A) = \displaystyle{\frac{P(B) \cdot P(A | B)}{P(B) \cdot P(A | B) + P(\overlinepatch{B}) \cdot P(A | \overlinepatch{B})}} = \displaystyle{\frac{0.5 \cdot 0.4}{0.5 \cdot 0.4 + 0.5 \cdot 0.8}} = \displaystyle{\frac{0.2}{0.6}} = \displaystyle{\frac{1}{3}}$