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Strukturierung – Stochastische Unabhängigkeit

Ziele des Lernschritts:

die Betrachtungen zu einer Befragung verallgemeinern
das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit einführen

Einstieg - das Problem klären

Im letzten Kapitel haben wir uns u. a. mit Befragungen zu folgenden Abhängigkeiten beschäftigt:

Schlafprobleme in Abhängigkeit des Geschlechts
Schlafprobleme bei Frauen bzw. Männern in Abhängigkeit des Alters
Medikamenteneinnahme von Kindern bei Schlafproblemen in Abhängigkeit des Geschlechts

Die Befragungen zu jeweils zwei Merkmalen lassen sich als Zufallsexperimente deuten:

Zufallsexperiment: Eine (beliebig ausgewählte) Person befragen und dabei die Antworten auf zwei Merkmale beobachten:

Merkmal 1 erfüllt? (ja / nein)
Merkmal 2 erfüllt? (ja / nein)

Dabei sind insbesondere folgende Ereignisse interssant:

$A$ : Merkmal 1 erfüllt? ja
$\overset{}{A}$ : Merkmal 1 erfüllt? nein
$B$ : Merkmal 2 erfüllt? ja
$\overset{}{B}$ : Merkmal 2 erfüllt? nein

Die Klärung der Abhängigkeit der Merkmale führt auf folgende Leitfrage:

Leitfrage

Wie hängt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ von der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $B$ ab?

Erarbeitung - eine Bedingung für Unabhängigkeit formulieren

Wir gehen hier von Datenmaterial mit beliebig vorgebbaren Daten aus.

Daten: Situation 1

Zum Herunterladen: vierfeldertafel_einheitsquadraten_baumdiagramm3.ggb

Daten: Situation 2

Zum Herunterladen: vierfeldertafel_einheitsquadraten_baumdiagramm2.ggb

Aufgabe 1

(a) Begründe: In Situation 1 hängt die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ davon ab, ob Ereignis $B$ eintritt oder nicht.

(b) Begründe: In Situation 2 hängt die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ nicht davon ab, ob Ereignis $B$ eintritt oder nicht.

(c) Betrachte in Situation 2 die Wahrscheinlichkeiten $P (A | B)$ , $P (A | \overset{}{B})$ sowie $P (A)$ und vervollständige:

$P (A | B) = . . .$

(d) Gilt in Situation 1 ebenfalls der in Aufgabenteil (c) bestimmte Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeiten $P (A | B)$ , $P (A | \overset{}{B})$ und $P (A)$ ?
Begründe deinen Befund.

Aufgabe 2

(a) Begründe mit Hilfe der Formel $P (A | B) = \frac{P (B \cap A)}{P (B)}$ :

In Situation 2 gilt $P (A \cap B) = P (A) \cdot B (B)$ .

(b) Begründe:

Wenn $P (A | B) = P (A)$ gilt, dann gilt auch $P (B | A) = P (B)$ (sofern $P (A) > 0$ und $P (B) > 0$ gilt).

Deute diesen Zusammenhang.

Vertiefung und Sicherung - eine Definition entwickeln

Für Situationen, in denen ein Ereignis nicht von einem anderen abhängt, führen wir den Begriff der stochastischen Unabhängigkeit ein.

Aufgabe 3

Ergänze in der Definition passende Bedingungen.

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments (mit $P (A) > 0$ und $P (B) > 0$ ) sind stochastisch unabhängig genau dann, wenn gilt:

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