Strukturierung – Stochastische Unabhängigkeit
- die Betrachtungen zu einer Befragung verallgemeinern
- das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit einführen
Einstieg - das Problem klären
Im letzten Kapitel haben wir uns u. a. mit Befragungen zu folgenden Abhängigkeiten beschäftigt:
- Schlafprobleme in Abhängigkeit des Geschlechts
- Schlafprobleme bei Frauen bzw. Männern in Abhängigkeit des Alters
- Medikamenteneinnahme von Kindern bei Schlafproblemen in Abhängigkeit des Geschlechts
Die Befragungen zu jeweils zwei Merkmalen lassen sich als Zufallsexperimente deuten:
Zufallsexperiment: Eine (beliebig ausgewählte) Person befragen und dabei die Antworten auf zwei Merkmale beobachten:
- Merkmal 1 erfüllt? (ja / nein)
- Merkmal 2 erfüllt? (ja / nein)
Dabei sind insbesondere folgende Ereignisse interssant:
- $A$: Merkmal 1 erfüllt? ja
- $\overlinepatch{A}$: Merkmal 1 erfüllt? nein
- $B$: Merkmal 2 erfüllt? ja
- $\overlinepatch{B}$: Merkmal 2 erfüllt? nein
Die Klärung der Abhängigkeit der Merkmale führt auf folgende Leitfrage:
Leitfrage
Wie hängt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ von der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $B$ ab?
Erarbeitung - eine Bedingung für Unabhängigkeit formulieren
Wir gehen hier von Datenmaterial mit beliebig vorgebbaren Daten aus.
Aufgabe 1
(a) Begründe: In Situation 1 hängt die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ davon ab, ob Ereignis $B$ eintritt oder nicht.
(b) Begründe: In Situation 2 hängt die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ nicht davon ab, ob Ereignis $B$ eintritt oder nicht.
(c) Betrachte in Situation 2 die Wahrscheinlichkeiten $P(A|B)$, $P(A|\overlinepatch{B})$ sowie $P(A)$ und vervollständige:
$P(A|B) = ...$
(d) Gilt in Situation 1 ebenfalls der in Aufgabenteil (c) bestimmte Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeiten $P(A|B)$, $P(A|\overlinepatch{B})$ und $P(A)$?
Begründe deinen Befund.
Aufgabe 2
(a) Begründe mit Hilfe der Formel $P(A|B) = \displaystyle{\frac{P(B \cap A)}{P(B)}}$:
In Situation 2 gilt $P(A \cap B) = P(A) \cdot B(B)$.
(b) Begründe:
Wenn $P(A|B) = P(A)$ gilt, dann gilt auch $P(B|A) = P(B)$ (sofern $P(A) > 0$ und $P(B) > 0$ gilt).
Deute diesen Zusammenhang.
Vertiefung und Sicherung - eine Definition entwickeln
Für Situationen, in denen ein Ereignis nicht von einem anderen abhängt, führen wir den Begriff der stochastischen Unabhängigkeit ein.
Aufgabe 3
Ergänze in der Definition passende Bedingungen.
Zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments (mit $P(A) > 0$ und $P(B) > 0$) sind stochastisch unabhängig genau dann, wenn gilt:
...
