Zusammenfassung - Bedingte Wahrscheinlichkeit
Abhängigkeit bei Ereignissen - ein Beispiel
Häufig wird das Eintreten eines Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses $B$ bekannt ist, untersucht. Zur Verdeutlichung betrachten wir folgende Situation:
Beispiel: Migräne bei Raucher(inne)n
In einer Studie wurden Personen nach zwei Merkmalen befragt (siehe Smoking as a precipitating factor for migraine).
- Bist du Raucher(in)? (ja/nein)
- Hast du regelmäßig Migräneattacken? (ja/nein)
Die Ergebnisse der Befragung zeigt die folgende Vierfeldertafel. In den Feldern sind jeweils die absoluten Häufigkeiten der vier Antwortmöglichkeiten bezogen auf die Gesamtanzahl der Befragten eingetragen. So haben z.B. $17$ aller Befragten geantwortet, dass sie rauchen und häufig Migräneattacken haben.
| Raucher(in): ja | Raucher(in): nein | Summe | |
|---|---|---|---|
| Migräne: ja | $17$ | $57$ | $74$ |
| Migräne: nein | $41$ | $246$ | $287$ |
| Summe | $58$ | $303$ | $361$ |
Wir betrachten die Befragung jetzt als Zufallsexperiment mit den Ergebnissen (Raucher(in):ja; Migräne: ja"), (Raucher(in):ja; Migräne: nein") usw.. Die relativen Häufigkeiten in der Viefeldertafel werden als Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse genommen.
Für eine weitergehende Analyse führen wir folgende Ereignisse ein:
- $A$: Migräne: ja
- $\overlinepatch{A}$: Migräne: nein
- $B$: Raucher(in): ja
- $\overlinepatch{B}$: Raucher(in): nein
Es gilt dann z.B.:
- $P(B \cap A) = \frac{17}{361} \approx 0.047$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person Raucher(in) ist und Migräneattacken hat, beträgt ca. $0.047 = 4.7\%$. - $P(B \cap \overlinepatch{A}) = \frac{57}{361} \approx 0.158$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person Raucher(in) ist und keine Migräneattacken hat, beträgt ca. $0.158 = 15.8\%$. - $P(A) = \frac{58}{361} \approx 0.161$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person Migräneattacken hat, beträgt ca. $0.161 = 16.1\%$. - $P(B) = \frac{74}{361} \approx 0.205$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person Raucher(in) ist, beträgt ca. $0.205 = 20.5\%$.
Wird der Zusammenhang zwischen Rauchen und Migräne untersucht, sind vor allem die Antworten auf folgende Frage interssant:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein(e) Raucher(in) bzw. ein(e) Nichtraucher(in) regelmäßig unter Migräneattacken leidet?
Die Wahrscheinlichkeiten beziehen sich dann nicht mehr auf die Gesamtheit aller befragten Personen, sondern nur noch auf die Raucher(innen) bzw. Nichtraucher(innen). Wir berücksichtigen dies, indem wir bedingte Wahrscheinlichkeiten betrachten:
- $P(A|B)$:
Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person regelmäßig Migräneattacken hat, wenn die befragte Person ein(e) Raucher(in) ist - $P(A|\overlinepatch{B})$:
Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person regelmäßig Migräneattacken hat, wenn die befragte Person ein(e) Nichtraucher(in) ist - $P(\overlinepatch{A}|B)$:
Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person keine regelmäßigen Migräneattacken hat, wenn die befragte Person ein(e) Raucher(in) ist - $P(\overlinepatch{A}|\overlinepatch{B})$:
Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person keine regelmäßigen Migräneattacken hat, wenn die befragte Person ein(e) Nichtraucher(in) ist
Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten werden erhalten, indem der Anteil des betrachteten Ereignisses $A$ jeweils auf die Grundgesamtheit $B$ bezogen wird. Hieraus folgt:
- $P(A|B) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)} \approx 0.23$
- $P(\overlinepatch{A}|B) = \frac{P(B \cap \overlinepatch{A})}{P(B)} \approx 0.77$
- $P(A|\overlinepatch{B}) = \frac{P(\overlinepatch{B} \cap A)}{P(\overlinepatch{B})} \approx 0.143$
- $P(\overlinepatch{A}|\overlinepatch{B}) = \frac{P(\overlinepatch{B} \cap \overlinepatch{A})}{P(\overlinepatch{B})} \approx 0.857$
Festlegung der bedingten Wahrscheinlichkeit
Die Betrachtungen im Beispielkontext legen nahe, die bedingte Wahscheinlichkeit allgemein folgendermaßen festzulegen:
Betrachte zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments. Die bedingten Wahrscheinlichkeit $P(A | B)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$. Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird so festgelegt:
$P(A|B) = \displaystyle{\frac{P(B \cap A)}{P(B)}}$
Dabei muss vorausgetzt werden, dass $P(B) > 0$ gilt.
Die Wahrscheinlichkeit von $A$ wird so auf die neue Grundmenge $B$ bezogen. Nur der Anteil des Ereignisses $A$ an der Bedingung $B$ spielt dabei eine Rolle.
Aus der Formel zur Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt direkt dieser Zusammenhang:
Betrachte zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments (mit $P(B) > 0$). Es gilt:
$P(B \cap A) = P(B) \cdot P(A|B)$
Deutung der bedingten Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm
Die zahlreichen Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten lassen sich gut mit Hilfe eines Baumdiagramms verdeutlichen.
Zum Herunterladen: vierfeldertafel_baumdiagramm_wahrscheinlichkeiten.ggb
Der obere Pfad lässt sich so deuten:
- Das Ereignis $B$ ("Raucher: ja") tritt mit der Wahrscheinlichkeit $P(B) = 0.205$ ein.
- Ausgehend von der neuen Grundmenge $B$ ("Raucher: ja") erhält man $A$ ("Migräne: ja") mit der Wahrscheinlichkeit $P(A|B) = 0.23$.
- Für das Ereignis $B \cap A$ ("Raucher: ja" und "Migräne: ja") erhält man die Wahrscheinlichkeit mit der Formel $P(B \cap A) = P(B) \cdot P(A|B)$. Also: $P(B \cap A) = 0.205 \cdot 0.23 \approx 0.047$.
Beachte, dass die Formel $P(B \cap A) = P(B) \cdot P(A|B)$ als Pfadregel gedeutet wird.
Pfadregel (für zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments):
$P(B \cap A) = P(B) \cdot P(A|B)$
Ein Ereignis $A$ lässt sich mit einem weiteren Ereignis $B$ in die beiden Teilereignisse $B \cap A$ und $\overlinepatch{B} \cap A$ aufteilen. Es gilt daher die folgende Summenregel.
Summenregel (für zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments):
$P(A) = P(B \cap A) + P(\overlinepatch{B} \cap A)= P(B) \cdot P(A|B) + P(\overlinepatch{B}) \cdot P(A|\overlinepatch{B})$
