Zusammenfassung - Bedingte Wahrscheinlichkeit

Abhängigkeit bei Ereignissen - ein Beispiel

Häufig wird das Eintreten eines Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses $B$ bekannt ist, untersucht. Zur Verdeutlichung betrachten wir folgende Situation:

In einer Studie wurden Personen nach zwei Merkmalen befragt (siehe Smoking as a precipitating factor for migraine).

• Bist du Raucher(in)? (ja/nein)
• Hast du regelmäßig Migräneattacken? (ja/nein)

Die Ergebnisse der Befragung zeigt die folgende Vierfeldertafel. In den Feldern sind jeweils die absoluten Häufigkeiten der vier Antwortmöglichkeiten bezogen auf die Gesamtanzahl der Befragten eingetragen. So haben z. B. $17$ aller Befragten geantwortet, dass sie rauchen und häufig Migräneattacken haben.

Wir betrachten die Befragung jetzt als Zufallsexperiment mit den Ergebnissen ("Raucher(in):ja"; "Migräne: ja"), ("Raucher(in):ja"; "Migräne: nein") usw.. Die relativen Häufigkeiten in der Viefeldertafel werden als Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse genommen.

Für eine weitergehende Analyse führen wir folgende Ereignisse ein:

• $A$: Migräne: ja
• $\stackrel{\phantom{A}}{A}$: Migräne: nein
• $B$: Raucher(in): ja
• $\stackrel{\phantom{B}}{B}$: Raucher(in): nein

Es gilt dann z. B.:

• $P(B\cap A)=\frac{17}{361}\approx 0.047$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person Raucher(in) ist und Migräneattacken hat, beträgt ca. $0.047=4.7\mathrm{\%}$.
• $P(B\cap \stackrel{\phantom{A}}{A})=\frac{57}{361}\approx 0.158$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person Raucher(in) ist und keine Migräneattacken hat, beträgt ca. $0.158=15.8\mathrm{\%}$.
• $P(A)=\frac{58}{361}\approx 0.161$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person Migräneattacken hat, beträgt ca. $0.161=16.1\mathrm{\%}$.
• $P(B)=\frac{74}{361}\approx 0.205$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person Raucher(in) ist, beträgt ca. $0.205=20.5\mathrm{\%}$.

Wird der Zusammenhang zwischen Rauchen und Migräne untersucht, sind vor allem die Antworten auf folgende Frage interssant:

Die Wahrscheinlichkeiten beziehen sich dann nicht mehr auf die Gesamtheit aller befragten Personen, sondern nur noch auf die Raucher(innen) bzw. Nichtraucher(innen). Wir berücksichtigen dies, indem wir bedingte Wahrscheinlichkeiten betrachten:

• $P(A|B)$:
  Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person regelmäßig Migräneattacken hat, wenn die befragte Person ein(e) Raucher(in) ist.
• $P(A|\stackrel{\phantom{B}}{B})$:
  Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person regelmäßig Migräneattacken hat, wenn die befragte Person ein(e) Nichtraucher(in) ist.
• $P(\stackrel{\phantom{A}}{A}|B)$:
  Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person keine regelmäßigen Migräneattacken hat, wenn die befragte Person ein(e) Raucher(in) ist.
• $P(\stackrel{\phantom{A}}{A}|\stackrel{\phantom{B}}{B})$:
  Wahrscheinlichkeit, dass die befragte Person keine regelmäßigen Migräneattacken hat, wenn die befragte Person ein(e) Nichtraucher(in) ist.

Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten erhalten wir, indem wir den Anteil des betrachteten Ereignisses $A$ jeweils auf die Grundgesamtheit $B$ beziehen. Hieraus folgt:

• $P(A|B)=\frac{P(B\cap A)}{P(B)}\approx 0.23$
• $P(\stackrel{\phantom{A}}{A}|B)=\frac{P(B\cap \stackrel{\phantom{A}}{A})}{P(B)}\approx 0.77$
• $P(A|\stackrel{\phantom{B}}{B})=\frac{P(\stackrel{\phantom{B}}{B}\cap A)}{P(\stackrel{\phantom{B}}{B})}\approx 0.143$
• $P(\stackrel{\phantom{A}}{A}|\stackrel{\phantom{B}}{B})=\frac{P(\stackrel{\phantom{B}}{B}\cap \stackrel{\phantom{A}}{A})}{P(\stackrel{\phantom{B}}{B})}\approx 0.857$

Festlegung der bedingten Wahrscheinlichkeit

Die Betrachtungen im Beispielkontext legen nahe, die bedingte Wahscheinlichkeit allgemein folgendermaßen festzulegen:

Die Wahrscheinlichkeit von $A$ wird so auf die neue Grundmenge $B$ bezogen. Nur der Anteil des Ereignisses $A$ an der Bedingung $B$ spielt dabei eine Rolle.

Aus der Formel zur Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt direkt dieser Zusammenhang:

Deutung der bedingten Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm

Die zahlreichen Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten lassen sich gut mit Hilfe eines Baumdiagramms verdeutlichen.

Zum Herunterladen: vierfeldertafel_baumdiagramm_wahrscheinlichkeiten.ggb

Der obere Pfad lässt sich folgendermaßen deuten:

• Das Ereignis $B$ ("Raucher(in): ja") tritt mit der Wahrscheinlichkeit $P(B)=0.205$ ein.
• Ausgehend von der neuen Grundmenge $B$ ("Raucher(in): ja") erhält man $A$ ("Migräne: ja") mit der Wahrscheinlichkeit $P(A|B)=0.23$.
• Für das Ereignis $B\cap A$ ("Raucher(in): ja" und "Migräne: ja") erhält man die Wahrscheinlichkeit mit der Formel $P(B\cap A)=P(B)\cdot P(A|B)$. Also: $P(B\cap A)=0.205\cdot 0.23\approx 0.047$.

Beachte, dass die Formel $P(B\cap A)=P(B)\cdot P(A|B)$ als Pfadregel gedeutet wird:

Ein Ereignis $A$ lässt sich mit einem weiteren Ereignis $B$ in die beiden Teilereignisse $B\cap A$ und $\stackrel{\phantom{B}}{B}\cap A$ aufteilen. Es gilt daher die folgende Summenregel: