Zusammenfassung - Stochastische Unabhängigkeit

Abhängigkeit bei Ereignissen - ein Beispiel

Häufig kommt es vor, dass wir bei einem Zufallsexperiment wissen wollen, ob sich zwei Ereignisse gegenseitig beeinflussen. Wir verdeutlichen das zunächst anhand einer statistischen Erhebung:

In einer Studie wurden Frauen bzw. Männer u. a. nach den beiden folgenden Merkmalen befragt (siehe Journal of Health Monitoring).

• Wie alt bist du? (18-24 / 25-31)
• Leidest du unter Schlafproblemen? (ja / nein)

In der Auswertung der Studie ging es u. a. um diese Frage:

Die Ergebnisse der Befragung sind in den beiden folgenden GeoGebra-Applets zu sehen:

Daten: Schlafprobleme bei jungen Frauen in Abhängigkeit des Alters

Zum Herunterladen: abhaengigkeit_schlafen_alter_frauen.ggb

Daten: Schlafprobleme bei jungen Männern in Abhängigkeit des Alters

Zum Herunterladen: abhaengigkeit_schlafen_alter_maenner.ggb

Zur Beschreibung der Zusammenhänge nutzen wir dieselben Bezeichner für Ereignisse wie in den Applets:

• $A$: Schlafprobleme: ja
• $\stackrel{\phantom{A}}{A}$: Schlafprobleme: nein
• $B$: Alter: 18-24
• $\stackrel{\phantom{B}}{B}$: Alter: 25-31

Die Daten liefern folgende Antworten auf die zu untersuchende Frage:

Für junge Frauen gilt:

$P(A|B)=P(A|\stackrel{\phantom{B}}{B})=P(A)$

Die Schlafprobleme hängen hier nicht vom Alter ab. In beiden Altersgruppen erhält man den gleichen Anteil an Frauen mit Schlafproblemen.

Für junge Männer gilt:

$P(A|B)\ne P(A|\stackrel{\phantom{B}}{B})$ sowie $P(A|B)\ne P(A)$ und $P(A|\stackrel{\phantom{B}}{B})\ne P(A)$

Die Schlafprobleme hängen hier vom Alter ab. Mit dem Alter steigt der Anteil an Männern mit Schlafproblemen leicht an.

Bedingungen für stochastische Unabhängigkeit

Wir betrachten zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments mit $P(A)>0$ und $P(B)>0$. Für solche Ereignisse können die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(A|B)$ und $P(B|A)$ gebildet werden. Es gilt dann:

$P(A|B)=P(A)$ (bzw. die Wahrscheinlichkeit von $A$ hängt nicht von $B$ ab)

$\iff$

${\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)}$

$\iff$

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

$\iff$

${\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B)}$

$\iff$

$P(B|A)=P(B)$ (bzw. die Wahrscheinlichkeit von $B$ hängt nicht von $A$ ab)

Diese Umformungen zeigen, dass Unabhängigkeit immer beidseitig besteht: Wenn die Wahrscheinlichkeit von $A$ nicht von $B$ abhängt, dann hängt die Wahrscheinlichkeit von $B$ auch nicht von $A$ ab – und umgekehrt. Für die Unabhängigkeit reicht es also immer, nur eine der beiden bedingten Abhängigkeiten zu betrachten. Wir legen die stochastische Unabhängigkeit daher wie folgt fest:

Was ist, wenn $P(A)=0$ oder $P(B)=0$ gilt? In diesem Fall gehen wir auch davon aus, dass das eine Ereignis keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen hat. Wir legen also zusätzlich fest:

Falls $P(A)=0$ oder $P(B)=0$ gilt, dann gilt auch $P(A\cap B)=0$ und somit $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Das führt mit den oben gezeigten Überlegungen zu folgendem Ergebnis:

Neben der stochastischen Unabhängigkeit führen wir den Begriff der stochastischen Abhängigkeit ein:

Beachte, dass eine stochastische Abhängigkeit keine Ursache-Wirkung-Beziehung beschreibt. Im Beispiel "Schlafprobleme bei jungen Männern" steigt die Wahrscheinlichkeit von Schlafproblemen mit dem Alter leicht an. Die Ursache hierfür dürfte komplex sein und nicht etwa den Eintritt in eine neue Altersgruppe darstellen.

Stochastische Unabhängigkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten

Zur Verdeutlichung der Rolle der stochastischen Unabhängigkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten betrachten wir folgendes Beispiel:

Zum Herunterladen: urnenexperiment3.ggb

Die Ereignisse $B$: "die 1. gezogene Kugel ist rot" und $A$: "die 2. gezogene Kugel ist rot" sind hier stochastisch unabhängig. Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse gesetzt sind. Die stochastische Unabhängigkeit spiegelt hier also nicht eine Eigenschaft von Daten wider. Es werden vielmehr die Teilzufallsexperimente eines komplexeren Zufallsexperiments stochastisch unabhängig modelliert.

Diese Form der stochastisch unabhängigen Modellierung bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ist zentral und wird uns in den weiteren Kapiteln noch oft begegnen.