Einstieg – Faire und unfaire Münzen

Das Problem klären

Vor dir liegen drei Münzen. Zwei Münzen sind fair, sie zeigen also mit gleicher Wahrscheinlichkeit Kopf ($\Omega$) und Zahl ($1$). Eine Münze ist unfair und zeigt nur mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ Zahl. Die Münzen sind äußerlich nicht voneinander zu unterscheiden.

Zum Herunterladen: muenzen.ggb

Es soll nun eine Münze zufällig ausgewählt werden und im Anschluss wird sie geworfen.

Aufgabe 1

Zeichne ein Baumdiagramm, das diese Situation als zweistufiges Zufallsexperiment darstellt.

Zum Vergleichen

Die meisten wählen die Wahl, welche Münze gezogen wird, als erste Stufe des Experiments. Die zweite Stufe ist dann der Münzwurf. Die Wahrscheinlichkeiten sind in dieser zweiten Stufe davon abhängig, welches Ergebnis die erste Stufe hatte (faire oder unfaire Münze).

Den Blickwinkel ändern

Wenn ich weiß, ob ich die faire oder unfaire Münze gezogen habe, kann ich leicht sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Kopf/Zahl fällt. Doch in der Regel weiß ich nicht, welche Münze ich gezogen habe. Ich kann sie aber einmal (oder mehrfach) werfen und versuchen, aus den Ergebnissen Rückschlüsse zu ziehen:

Einen intuitiven Zugang erproben

Wir nutzen das folgende Applet, um den Vorgang „Münze ziehen und Probewürfe machen“ zu simulieren:

Anleitung für das Applet

• Oben links sind nochmal die Infos über die Münzen zusammengefasst.
• In einem ersten Schritt musst du mit der Schaltfläche [Münze ziehen] eine der drei gegebenen Münzen auswählen. Ob sie fair oder unfair ist, bleibt natürlich erst einmal geheim.
• Mit der Schaltfläche [Münze werfen] kannst du die gezogene Münze dann wiederholt (hier maximal 5-mal) werfen.
• Im Grafikfeld unterhalb der gezeigten Münzwurfergebnisse kannst du mit dem blauen Punkt die Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ nach und nach einstellen. Es geht dabei nicht darum, diese Wahrscheinlichkeit exakt auszurechnen; versuche einfach sie intuitiv einzustellen.
• Abschließend kannst du eine Vermutung aufstellen, ob die gezogene Münze fair oder unfair war. Hierfür musst du nur die entsprechende Schaltfläche anklicken. Ob die Vermutung zutrifft, wird danach angezeigt.

Zum Herunterladen: muenzspiel.ggb

Aufgabe 2

Führe hier einen ersten Durchlauf des Münzwurfexperiments durch und dokumentiere dabei alle Ergebnisse und Überlegungen (in der Tabelle unten). Die folgenden Teilaufgaben leiten dich dabei.

(a) Bevor du mit dem Werfen der ausgewählten Münze anfängst, kannst du mit dem aktuellen Wissen bereits die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass diese Münze fair ist. Stelle diesen Wert im unteren Grafikfeld mit dem blauen Punkt ein.

(b) Erzeuge mit [Münze werfen] das 1. Wurfergebnis und trage es in der Tabelle ein. Versuche anhand der Ergebnisse Rückschlüsse darauf zu ziehen, ob die gezogene Münze eher fair oder unfair ist, z. B. so: Wenn Kopf (bzw. $\mathit{\Omega}$) fällt, dann spricht das eher für (…). Mit diesem Wissen steigt oder sinkt dann die Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“. Berücksichtige dies, indem du die neue Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“ per Intuition abschätzt und mit dem blauen Punkt im Grafikfeld einstellst.

(c) Verfahre analog zu (b) mit den weiteren Münzwürfen. Dokumentiere jeweils das Münzwurfergebnis und deine Überlegungen zur Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“.

(d) Stelle nach der Bearbeitung der 5 Münzwürfe eine Vermutung darüber auf, ob die gezogene Münze fair oder unfair ist.

Ergebnis des Münzwurfs	Wahrscheinlichkeit für „Münze ist fair“	Erläuterung
vor dem 1. Wurf	$\frac{2}{3} \approx 0.67 = 67\%$	Zwei Münzen sind fair, eine ist unfair. Die Wahl erfolgt zufällig.
1. Wurf: ...
2. Wurf: ...
3. Wurf: ...
4. Wurf: ...
5. Wurf: ...
		Vermutung: